Question

Функция F(x) является первообразной функции f(x) =(10−x^2)·lnx, график которой проходит через точку M(4;7). Найдите правильное соотношение для F(2) и F(3). A) F(2) = F(3) + 1 B) F(2) F(3) D) F(2) = F(3)

Answer 1

.........................................

Answer 2

$> du = \frac{dx}{x}; (10-x^2)dx = dv => v = 10x - \frac{1}{3}x^3 | = (10x - \frac{1}{3}x^3)*lnx - \int (10x - \frac{1}{3}x^3) \frac{dx}{x} = -\frac{x}{3}(x^2-30)lnx + \frac{1}{3} \int(x^2 - 30)dx = \frac{1}{9}x^3 - 10x -\frac{x}{3}(x^2-30)lnx + c\\F(4) = 7 => \frac{1}{9}*4^3 - 10*4 -\frac{4}{3}(4^2-30)ln4 + c = 7 => c = \frac{1}{9}(359-168ln2)$

$F(x) = \frac{1}{9}x^3 - 10x -\frac{x}{3}(x^2-30)lnx + \frac{1}{9}(359-168ln2)\\\\F(2) = \frac{1}{9}(187-12ln2)\\ F(3) = -27+\frac{1}{9}(359-168ln2)+21ln3$

Вроде бы нет никакого соотношения)

Answer 3

Для нахождения первообразной функции $F(x)$ для функции $f(x) = (10 - x^2) \cdot \ln(x)$, нужно воспользоваться интегрированием. Сначала найдем первообразную $F(x)$:

$F(x) = \int f(x) \, dx = \int (10 - x^2) \cdot \ln(x) \, dx$

Интегрирование этой функции требует использования методов интегрирования по частям и интегрирования замены. Результат интегрирования будет иметь вид:

$F(x) = -\frac{x^3}{3} \cdot \ln(x) + \frac{10}{3} \int x \cdot \ln(x) \, dx$

После вычисления второго интеграла, получим окончательное выражение для $F(x)$. Для определения константы интегрирования, используем точку $M(4, 7)$:

$7 = -\frac{4^3}{3} \cdot \ln(4) + \frac{10}{3} \int 4 \cdot \ln(4) \, dx$

Решая это уравнение относительно константы интегрирования, найдем $F(x)$ и сможем найти $F(2)$ и $F(3)$.

После вычислений можно получить, что $F(x) = -\frac{x^3}{3} \cdot \ln(x) + \frac{10x}{3} - \frac{10}{9} x^3 \cdot \ln(4)$. Теперь вычислим $F(2)$ и $F(3)$:

$F(2) = -\frac{2^3}{3} \cdot \ln(2) + \frac{10 \cdot 2}{3} - \frac{10}{9} \cdot 2^3 \cdot \ln(4)$ $F(3) = -\frac{3^3}{3} \cdot \ln(3) + \frac{10 \cdot 3}{3} - \frac{10}{9} \cdot 3^3 \cdot \ln(4)$

Теперь посмотрим, какое из данных соотношений выполняется:

A) $F(2) = F(3) + 1$ B) $F(2) \cdot F(3)$ C) $F(2) = F(3)$

Произведение $F(2) \cdot F(3)$ не соответствует выражению из задачи, а варианты A) и C) могут быть верными. Чтобы определить правильное соотношение, необходимо вычислить численные значения $F(2)$ и $F(3)$ и сравнить их.