Question

При каком значении параметра a уравнение x^3 +3x^2 -9x -a=0 имеет два корня

Answer 1

Ответ:

-5, 27

Пошаговое объяснение:

$x^3+3x^2-9x=a$

Рассмотрим функцию $f(x)=x^3+3x^2-9x$. Её производная равна $f'(x)=3x^2+6x-9=3(x+3)(x-1)$. Производная равна нулю в точках x = -3, x = 1. При x ≤ -3 и x ≥ 1 производная неотрицательна, то есть функция возрастает, при -3 ≤ x ≤ 1 производная неположительна, то есть функция убывает. f(-3) = 27, f(1) = -5. Значит, функция имеет следующий вид (см. рис.)

Функция y = a — прямая, параллельная оси Ox. Как видно из графика, одно решение (пересечение) — при a < -5, a > 27; два решения — при a = -5, a = 27; три решения — при -5 < a < 27.

Answer 2

Для того чтобы уравнение $x^3 + 3x^2 - 9x - a = 0$ имело два корня, оно должно иметь один действительный корень и два комплексных корня.

Уравнение кубической функции всегда имеет хотя бы один действительный корень. Давайте рассмотрим, как можно настроить параметр $a$, чтобы это условие выполнилось:

1. Для одного действительного корня: Установите параметр $a$ таким образом, чтобы кубическая функция $x^3 + 3x^2 - 9x - a$ имела один действительный корень. Это можно сделать, выбрав значение $a$ так, чтобы график функции касался оси $x$ в одной точке.

2. Для двух комплексных корней: Для того чтобы у уравнения была пара комплексных корней, кроме действительного корня, требуется, чтобы дискриминант кубического уравнения был отрицательным. Дискриминант вычисляется по формуле:

   $\Delta = 18abcd - 4b^3d + b^2c^2 - 4ac^3 - 27a^2d^2$,

   где коэффициенты $a$, $b$, $c$ и $d$ берутся из уравнения $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$.

   В данном случае у нас $a = 1$, $b = 3$, $c = -9$ и $d = -a$. Подставляя значения, получаем:

   $\Delta = 18 \cdot 1 \cdot 3 \cdot (-9) - 4 \cdot 3^3 \cdot (-a) + 3^2 \cdot (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9)^3 - 27 \cdot 1^2 \cdot (-a)^2$,

   $\Delta = -486 + 36a - 243 + 2916 - 27a^2$,

   $\Delta = -270a^2 + 36a + 2387$.

   Для того чтобы иметь два комплексных корня, $\Delta$ должен быть отрицательным ($\Delta < 0$). Решая неравенство $-270a^2 + 36a + 2387 < 0$, мы найдем интервалы значений параметра $a$, при которых это выполняется.

Объединяя оба условия (один действительный корень и два комплексных корня), вы сможете определить значения параметра $a$, при которых данное кубическое уравнение имеет два корня.