Question

Катеты прямоугольного треугольника равны 8 и 15 см. Найдите отрезки, на которые точка касания вписанной окружности делит гипотенузу.

Answer 1

Гипотенуза равна √(225+64)=17/см/, если провести к сторонам треугольника из центра окружности радиусы, то они разобьют катеты на отрезки, равные, радиусу и разности между стороной и радиусом. радиус найдем, использовав формулу площади треугольника, с одной стороны, это 15*8/2=60/см²/. а с другой р*r=(8+15+17)*r/2, откуда радиус равен 60/20=3/см/, тогда, отрезки, на которые разбивает радиус точки касания катетов равны 3 и (8-3)=5, и 15; 15-3=12, а т.к. если из вершин острых углов провести к окружности касательные, они будут равны, то гипотенузу разобьет точка касания на отрезки 5 и 12

Ответ 5см; 12см.

Answer 2

Пусть дан прямоугольный треугольник ABC, где AB = 8 см и BC = 15 см – катеты, а AC – гипотенуза. Пусть также P – точка касания вписанной окружности треугольника ABC с гипотенузой AC.

Чтобы найти отрезки, на которые точка P делит гипотенузу AC, нужно воспользоваться свойством касательной к окружности: касательная к окружности из внешней точки касается окружности под прямым углом.

В данном случае, P – точка касания вписанной окружности, и AC – гипотенуза. Так как P находится на гипотенузе, прямая AP будет касательной к вписанной окружности.

Поэтому, используя свойство касательной, получаем, что треугольник APC будет прямоугольным, и ∠APC = 90°.

Мы также знаем, что AP = BP (по радиусу вписанной окружности) и CP = CP (общая сторона), следовательно, треугольникы APC и BPC равнобедренные.

Таким образом, отрезки, на которые точка P делит гипотенузу AC, равны AP и CP.

Поскольку треугольник APC прямоугольный и равнобедренный, его катеты AP и CP равны:

AP = CP = AC / 2 = 15 / 2 = 7.5 см.

Итак, точка касания вписанной окружности делит гипотенузу AC на два отрезка длиной 7.5 см каждый.