Question

Решите уравнение: sinx + 2sin2x = 3 + sin3x

Answer 1

Ответ:

корней нет

Пошаговое объяснение:

$sinx-sin3x+2sin2x=3 \\ \\ 2sin\frac{x-3x}{2}cos\frac{x+3x}{2}+2sin2x=3 \\ \\ 2sin(-x)cos2x+2sin2x=3 \\ \\ -2sinx*cos2x +4sinx*cosx=3 \\ \\ sinx(-2cos2x+4cosx)=3$

Исследуем функцию: y=-2cos2x+4cosx

$y=-2(2cos^2x-1)+4cosx \\ y=-4cos^2x+4cosx+2$

Замена: cosx=t, t∈[-1;1]

y=-4t²+4t+2 - парабола, ветви направлены вниз, значит ее наибольшее значение в вершине:

$t_B=\frac{-b}{2a}=\frac{-4}{2*(-4)}=0.5 \in [-1;1] \ \Rightarrow \ cosx=0.5$

$y_B=-4*0.5^2+4*0.5+2=3$

Таким образом, наибольшее значение выражения -4cos²x+4cosx+2 ( или -2cos2x+4cosx) равно 3.

Нам нужно решить уравнение:

sinx(-2cos2x+4cosx)=3

Так как |sinx|≤1, а наибольшее значение -2cos2x+4cosx равно 3, то равенство выполнится только если sinx=1 и -2cos2x+4cosx=3

$\left\{\begin{matrix} sinx=1\\ -2cos2x+4cosx=3\end{matrix}\right. \ \Leftrightarrow \ \left\{\begin{matrix} sinx=1\\ cosx=0.5\end{matrix}\right. \ \Leftrightarrow \ \left\{\begin{matrix}x=\frac{\pi}{2}+2\pi n, \\ x=\pm \frac{\pi}{3}+ 2\pi n, \ n \in \mathbb{Z} \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \O$

Answer 2

Данное уравнение тригонометрическое, и его решение может потребовать использования различных тригонометрических тождеств и методов. Давайте попробуем решить это уравнение:

Исходное уравнение: sin(x) + 2sin(2x) = 3 + sin(3x)

Для начала, разложим sin(2x) и sin(3x) с помощью тригонометрических формул:

sin(2x) = 2sin(x)cos(x) sin(3x) = 3sin(x) - 4sin^3(x)

Подставим эти выражения в исходное уравнение:

sin(x) + 2(2sin(x)cos(x)) = 3 + (3sin(x) - 4sin^3(x))

Упростим:

sin(x) + 4sin(x)cos(x) = 3 + 3sin(x) - 4sin^3(x)

Теперь попробуем выразить cos(x) через sin(x) с использованием тригонометрического тождества: cos^2(x) = 1 - sin^2(x)

cos(x) = ±√(1 - sin^2(x))

Подставим это значение в уравнение:

sin(x) + 4sin(x)(±√(1 - sin^2(x))) = 3 + 3sin(x) - 4sin^3(x)

Рассмотрим два случая, когда cos(x) положителен и когда отрицателен:

1. cos(x) = √(1 - sin^2(x)):

sin(x) + 4sin(x)√(1 - sin^2(x)) = 3 + 3sin(x) - 4sin^3(x)

2. cos(x) = -√(1 - sin^2(x)):

sin(x) - 4sin(x)√(1 - sin^2(x)) = 3 + 3sin(x) - 4sin^3(x)

Оба случая сводятся к уравнениям с одной переменной sin(x), их можно решить численно или графически.

Пожалуйста, обратите внимание, что данное уравнение может быть довольно сложным для аналитического решения, и оно может потребовать использования численных методов для приближенного нахождения корней.