Question

Решите неравенство: 7^18 ⋅ (1/7)^(2 ⋅ x) ⋅ (1/7)^(2⋅√x) > 1

Answer 1

$7^{18}\cdot \left ( \frac{1}{7} \right )^{2x}\cdot \left ( \frac{1}{7} \right )^{2\sqrt{x}}>1\\7^{18}\cdot 7^{-2x}\cdot 7^{-2\sqrt{x}}>1\\7^{18-2x-2\sqrt{x}}>1\Leftrightarrow 18-2x-2\sqrt{x}>0\\\sqrt{x}=9-x\Leftrightarrow x^2-19x+81\\D=361-324=37\\x=\frac{19\pm \sqrt{37}}{2}\\x\in \left [ 0;9 \right ]\Rightarrow x=\frac{19-\sqrt{37}}{2}\\x\in \left [ 0;\frac{19-\sqrt{37}}{2} \right )$

Answer 2

7¹⁸ *7⁻²ˣ*7^(-2⋅√x) >7⁰

основание7> 1, функция возрастает. поэтому 18-2х-2√х>0

√х=у, х≥0, 18-2у²-2у√2=0; у²+√2у-9=0;  у=(-√2±√(2+36)/2= (-√2±√38)/2

у=(-2-√38)/2∅; -(2√х)>=(-2+√38)/2;  х<(2-√38)/4

Answer 3

Давайте пошагово решим данное неравенство:

Начнем с упрощения выражения:

7^18 ⋅ (1/7)^(2 ⋅ x) ⋅ (1/7)^(2⋅√x)

Заметим, что (1/7)^(2 ⋅ x) можно записать как (7^(-1))^(2 ⋅ x), что равно 7^(-2x), и (1/7)^(2⋅√x) можно записать как (7^(-1))^(2⋅√x), что равно 7^(-2√x).

Теперь у нас есть:

7^18 ⋅ 7^(-2x) ⋅ 7^(-2√x)

Используем свойства степеней с одинаковыми основаниями: a^m ⋅ a^n = a^(m + n). Применяя это к выражению выше:

7^(18 - 2x - 2√x)

Теперь у нас есть неравенство:

7^(18 - 2x - 2√x) > 1

Для того чтобы решить это неравенство, давайте возведем обе стороны неравенства в логарифм с основанием 7 (поскольку это основание, которое уже присутствует в неравенстве):

18 - 2x - 2√x > 0

Теперь давайте перенесем все члены неравенства на одну сторону:

-2x - 2√x > -18

Далее, выразим x:

-2x > -18 + 2√x

Теперь поделим обе стороны на -2. Помните, что при делении на отрицательное число неравенство меняет направление:

x < 9 - √x

Теперь давайте возведем обе стороны неравенства в квадрат, чтобы избавиться от корня:

x^2 < (9 - √x)^2

x^2 < 81 - 18√x + x

x^2 - x - 81 < 0

Теперь это квадратное неравенство можно решить. Один из способов - использовать график функции или метод интервалов. Решениями будут интервалы, в которых это неравенство выполняется:

(-∞, -8) U (9, ∞)

Итак, решение данного неравенства: x принадлежит объединению интервалов (-∞, -8) и (9, ∞).