Question

Сума п перших членів послідовності обчислюється за формулою Sn=6n-n^2 . Довести, що ця послідовність є арифметичною прогресією та знайти її шостий член.

Answer 1

Для початку знайдемо суму при n=1,2,3,4:

$S_1=6*1-1^2=5 \\ S_2=6*2-2^2=8 \\ S_3=6*3-3^2=9 \\ S_4=6*4-4^2=8$

$></p> <p></p> <p>Звідси випливає, що:</p> <p><img src=$

Бачимо, що члени прогресії убувають на одну і ту ж величину. Отже, ця прогресія є арифметичною.

$a_1=5\\d=-2$

Використовуємо формулу знаходження енного члена арифметичної прогресії:

$a_{n+1}=a_n+d$

Або

$a_n=a_1+d(n-1)$

За допомогою другої формули знаходимо шостий член даної прогресії:

$a_6=5-2(6-1)=5-12+2=-5$

Готово!

Answer 2

Ответ: $-5$

Поскольку сумма $n$ членов :

$S(n) = 6n-n^2$

То сумма $n-1$ членов:

$S(n-1) =6(n-1) -(n-1)^2 = 6n-6 -n^2+2n-1 = -n^2+8n-7$

Таким образом, $n$ -й член данного ряда вычисляется по формуле:

$a(n) = S(n) -S(n-1) =6n-n^2 +n^2-8n+7= 7-2n =7-2(n-1+1) = \\=5-2(n-1)$

То есть это арифметическая прогрессия с $a_{1}=5$  и $d=-2$

$a_{6} = 5-2(6-1) =-5$

Что и требовалось доказать.

Answer 3

Щоб довести, що послідовність Sn = 6n - n^2 є арифметичною прогресією, ми маємо знайти різницю між сусідніми членами послідовності.

За формулою різниці арифметичної прогресії, яка задається як D = a(n+1) - an, де a(n+1) є (n+1)-им членом прогресії, а an є n-им членом прогресії, ми можемо обчислити різницю для нашої послідовності:

D = [6(n+1) - (n+1)^2] - [6n - n^2] = 6n + 6 - n^2 - 2n - 1 - 6n + n^2 = 6 - 2n - 1 = 5 - 2n

Отже, ми отримали різницю арифметичної прогресії D = 5 - 2n.

Якщо ми можемо показати, що ця різниця є постійною для будь-якого n, тоді ця послідовність буде арифметичною прогресією.

Зробимо перевірку, підставивши кілька значень n:

Для n = 1: D = 5 - 2(1) = 5 - 2 = 3

Для n = 2: D = 5 - 2(2) = 5 - 4 = 1

Для n = 3: D = 5 - 2(3) = 5 - 6 = -1

Отже, ми бачимо, що різниця D змінюється з 3 на 1 на -1, що не є постійною. Тому послідовність Sn = 6n - n^2 не є арифметичною прогресією.

Щоб знайти шостий член послідовності, ми можемо підставити n = 6 в формулу Sn:

S6 = 6(6) - (6)^2 = 36 - 36 = 0

Таким чином, шостий член послідовності Sn = 6n - n^2 дорівнює 0.