Question

В арифметичній послідовності добуток п'ятого, восьмого та десятого членів послідовності дорівнює числу -99. Сума тих самих членів послідовності дорівнює числу -1.Який тридцятий член послідовності?

Answer 1

Відповідь:

89

Пояснення:

(a_n) — арифметична прогресія. Нехай її восьмий член a_8 — x, а різниця дорівнює d. Тоді інші два задані члени такі:

a_5 = x-3d

a_10 = x+2d

Складемо систему за умовою:

$></p> <p><img src=$

56x³+37x²+6x-99 = 0

Дійсні корені многочлена доцільно шукати серед дільників вільного коефіцієнта. Легко бачити, що x = 1 є розв'язком:

56×1³+37×1²+6×1-99 = 56+37+6-99 = 99-99 = 0

Виконаємо ділення многочлена 56x³+37x²+6x-99 на двочлен x-1 у стовпчик та отримаємо тричлен 56x²+93x+99. Його корені спробуємо знайти за допомогою дискримінанту:

$D = b^2-4ac=93^2-4*56*99=8649-22176$

Отже, початкове рівняння має єдиний дійсний розв'язок x = 1

Звідси d = 3×1+1, d = 4

Нарешті, 30-ий член послідовності a_30 = x+22d = 1+22×4, a_30 = 89

Answer 2

Для розв'язання цієї задачі спочатку визначимо арифметичну послідовність. Спершу знайдемо різницю між членами послідовності:

Дозвольте d бути різницею між будь-якими двома сусідніми членами послідовності.

П'ятий член послідовності: a_5 = a_1 + 4d

Восьмий член послідовності: a_8 = a_1 + 7d

Десятий член послідовності: a_10 = a_1 + 9d

Тепер ми знаємо, що добуток п'ятого, восьмого та десятого членів дорівнює -99:

a_5 * a_8 * a_10 = -99

(a_1 + 4d) * (a_1 + 7d) * (a_1 + 9d) = -99

Також нам відомо, що сума п'ятого, восьмого та десятого членів дорівнює -1:

a_5 + a_8 + a_10 = -1

(a_1 + 4d) + (a_1 + 7d) + (a_1 + 9d) = -1

Тепер ми маємо систему двох рівнянь з двома невідомими (a_1 і d). Розв'яжемо її.

Спочатку розв'яжемо друге рівняння:

(a_1 + 4d) + (a_1 + 7d) + (a_1 + 9d) = -1

3a_1 + 20d = -1

3a_1 = -1 - 20d

a_1 = (-1 - 20d) / 3

Тепер підставимо це значення a_1 в перше рівняння:

(a_1 + 4d) * (a_1 + 7d) * (a_1 + 9d) = -99

[(-1 - 20d) / 3 + 4d] * [(-1 - 20d) / 3 + 7d] * [(-1 - 20d) / 3 + 9d] = -99

Тепер можна знайти значення d та a_1 і використовувати їх для обчислення тридцятого члена послідовності:

a_30 = a_1 + 29d

Отже, спершу розв'яжемо рівняння для d та a_1, а потім знайдемо a_30.