Question

ДАЮ 30 БАЛЛОВ! ПОЖАЛУЙСТА!!! 101 × 102 × 103 × 104 × ... × 300 = 7^k × n (k и n - натуральные числа) Найдите наибольшее значение для k. А) 26 Б) 29 В) 30 Г) 31 Д) 32

Answer 1

$101\cdot102\cdot103\cdot104\cdot...\cdot300=7^{k_{\max}}\cdot n$

Найдем, сколько чисел от 101 до 300 делятся на 7.

$\dfrac{101}{7} =14\dfrac{3}{7}$

$\dfrac{300}{7} =42\dfrac{6}{7}$

Числа от 101 до 300, делящиеся на 7, дают частные от 15 до 42 включительно. Значит, их количество равно:

$42-15+1=28$

Но, среди чисел от 101 до 300 есть такие, которые делятся на $7^2=49$. Найдем их количество.

$\dfrac{101}{49} =2\dfrac{3}{49}$

$\dfrac{300}{49} =6\dfrac{6}{49}$

Числа от 101 до 300, делящиеся на 49, дают частные от 3 до 6 включительно. Значит, их количество равно:

$6-3+1=4$

Среди чисел от 101 до 300 делящихся на $7^3=343$, а также на большие степени числа 7 нет.

Значит, 28 чисел имеют сомножитель "7". Кроме этого 4 числа имеют еще один сомножитель "7". Значит, всего сомножителей "7" имеется:

$28+4=32$

Ответ: 32

Answer 2

Для решения данной задачи нам нужно вычислить произведение чисел от 101 до 300 и затем разложить его на простые множители, чтобы найти максимальное значение для степени числа 7 (k).

Для начала найдем произведение чисел от 101 до 300:

101 × 102 × 103 × ... × 300 = 300! / 100!

Теперь разложим это произведение на простые множители. Найдем количество простых чисел, кратных 7, в числах от 101 до 300:

Числа, кратные 7: 105, 112, 119, ..., 294. Общее количество чисел: (294 - 105) / 7 + 1 = 28.

Это означает, что в разложении произведения на простые множители будет как минимум 28 множителей 7.

Теперь вычислим степень числа 7 (k) в разложении произведения:

k = 28 + степень числа 7 в разложении числа 300! - степень числа 7 в разложении числа 100!.

Чтобы найти степень числа 7 в разложении числа n!, можно использовать формулу Лежандра:

[ n / 7 ] + [ n / 49 ] + [ n / 343 ] + ...

Где [x] обозначает наибольшее целое число, не превосходящее x.

Применяя эту формулу для чисел 300 и 100, получим:

Степень числа 7 в разложении 300!: [ 300 / 7 ] + [ 300 / 49 ] = 42 + 6 = 48. Степень числа 7 в разложении 100!: [ 100 / 7 ] + [ 100 / 49 ] = 14 + 2 = 16.

Теперь вернемся к формуле для k:

k = 28 + (48 - 16) = 60.

Итак, максимальное значение для k равно 60.

Среди предложенных вариантов ответа (А) 26, (Б) 29, (В) 30, (Г) 31, (Д) 32, наибольшее значение для k равно 60, которое не входит в данную выборку.