Question

Найти сумму 1/3 + 1/8 +1/15 + ... + 1/n^2-1 для каждого натурального n, большего 3

Answer 1

1/(n² - 1) = 1 / (n - 1)(n + 1) = 1/2 *( (n + 1) - (n - 1))/ (n - 1)(n + 1) = 1/2*(1 / (n - 1) - 1/(n + 1))

1/3 + 1/8 + 1/15 + ..... + 1/(n² - 1) = 1/1*3 + 1/2*4 + 1/3*5 + .... + 1/(n -1)(n +1) = 1/2(1 - 1/3 + 1/2 - 1/4 + .... + 1/(n - 2) - 1/n + 1/(n - 1) - 1/(n + 1)) = 1/2*(1 + 1/2 - 1/(n - 1) - 1/n) = 1/2 * (3/2 - (2n-1)/(n-1)n )

Answer 2

Данная последовательность представляет собой ряд, который может быть записан следующим образом:

$\sum_{n=4}^{\infty} \frac{1}{n^2-1}$.

Давайте разложим дробь $\frac{1}{n^2-1}$ на простейшие:

$\frac{1}{n^2-1} = \frac{1}{(n-1)(n+1)}$.

Затем мы можем разложить дробь на частичные дроби:

$\frac{1}{(n-1)(n+1)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{n-1} - \frac{1}{n+1} \right)$.

Теперь давайте найдем сумму ряда:

$\sum_{n=4}^{\infty} \frac{1}{n^2-1} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{5} + \frac{1}{8} - \frac{1}{10} + \frac{1}{15} - \frac{1}{17} + \ldots \right)$.

Мы видим, что многие члены ряда сокращаются, оставляя только несколько:

$\frac{1}{2} \left( \frac{1}{3} + \frac{1}{8} + \frac{1}{15} + \ldots \right)$.

Для нахождения суммы этого ряда, давайте воспользуемся методом телескопических сумм:

$\frac{1}{2} \left( \frac{1}{3} + \frac{1}{8} + \frac{1}{15} + \ldots \right) = \frac{1}{2} \left( \left(1 - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{4}\right) + \ldots \right)$.

Многие члены в скобках сокращаются, и остается только первый и последний член:

$\frac{1}{2} \left( 1 - \frac{1}{n} \right) = \frac{1}{2} \left( 1 - \frac{1}{n} \right)$.

Таким образом, сумма данного ряда для каждого натурального $n$, большего 3, будет равна $\frac{1}{2} \left( 1 - \frac{1}{n} \right)$.