Question

Докажите, что число n^4+4 составное при всех натуральных значениях n>1 (добавить и вычесть)

Answer 1

Докажем методом математической индукции по n

Answer 2

Давайте рассмотрим выражение $n^4 + 4$ и попытаемся применить разность квадратов для его факторизации.

Мы знаем, что разность квадратов имеет следующий вид: $a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$.

Применим это выражение к нашему случаю, где $a = n^2$ и $b = 2$:

$n^4 + 4 = (n^2 + 2)(n^2 - 2)$

Теперь у нас есть разложение $n^4 + 4$ в виде произведения двух выражений. Мы можем заметить, что оба выражения в скобках являются целыми числами для всех натуральных значений $n > 1$.

Поскольку $n^2 - 2$ всегда будет меньше, чем $n^2 + 2$ для $n > 1$, мы можем утверждать, что $n^4 + 4$ можно разложить на два множителя, больших 1, для всех натуральных значений $n > 1$.

Это означает, что $n^4 + 4$ является составным числом для всех натуральных значений $n > 1$.