Question

Найдите последнюю цифру суммы 7777^2222 + 2222^7777.

Answer 1

Ответ:

1

Пошаговое объяснение:

7777^2222 = (7777^4)^555 * 7777^2. 7777^4 оканчивается на последнюю цифру числа 7^4=2401, то есть на 1. Значит, (7777^4)^555 оканчивается 1. 7777^2 заканчивается 9. Тогда последней цифрой (7777^4)^555 * 7777^2 является 1*9=9.

2222^7777 оканчивается на то же, что и 2^7777 = (2^5)^1555*2^2. 2^5 заканчивается 2. Поэтому 2^7777 = (2^5)^1555*2^2 <-> 2^1555*4 - у этих чисел совпадают последние цифры. 2^1555*4= (2^5)^311*4 <-> 2^311*4=8*2^310=8*(2^5)^62 <-> 8*2^62= 32*2^60 <->2*2^12=2*4*2^10 <->2. <-> - обозначает, что числа завершаются общей цифрой. Итак, 2222^7777 оканчивается на 2.

Тогда сумма оканчивается на последнюю цифру 9+2, то есть 1.

Answer 2

Ответ:

1

Пошаговое объяснение:

когда число заканчиваются 2,3,7,8. то степень данных чисел делится  на 4.

а в данном случае :

$7777^{2222} +2222^{7777}$

1)2222/4=555ост(2)

а теперь 7 возводим в квадрат.потому что 7 стоит последним в числе 7777 .почему возводим в квадрат? потому что остаток при делении 2222/4=дал остаток 2

и получается $7^{2} =49$.

2)7777/4=1944ост(1)⇒теперь возводим $2^{1}$=2

3)49+2=51 ⇒1 является последним числом

Answer 3

Чтобы найти последнюю цифру суммы чисел, нам нужно рассмотреть только последние цифры каждого числа и выполнить операцию сложения. Поскольку мы ищем только последнюю цифру суммы, мы можем игнорировать все остальные цифры.

Посмотрим на последние цифры чисел 7777 и 2222: 7777^1 = 7 7777^2 = 9 7777^3 = 3 ... 7777^2222 = ?

2222^1 = 2 2222^2 = 4 2222^3 = 8 ... 2222^7777 = ?

Заметим, что последняя цифра любой натуральной степени числа 7777 повторяется каждые 4 степени: 7, 9, 3, 1, 7, 9, 3, 1, и так далее. Аналогично, последняя цифра любой натуральной степени числа 2222 повторяется каждые 4 степени: 2, 4, 8, 6, 2, 4, 8, 6, и так далее.

Таким образом, нам нужно найти остаток от деления показателей степени на 4: 2222^7777 ≡ 2^7777 ≡ 2^(4*1944 + 1) ≡ (2^4)^1944 * 2 ≡ 6^1944 * 2

Поскольку последняя цифра степени 6 также повторяется каждые 4 степени: 6, 6^2 ≡ 6, 6^3 ≡ 6, ..., мы можем сократить степень до 1944 % 4 = 0, и получим: 6^1944 * 2 ≡ 6^0 * 2 ≡ 1 * 2 ≡ 2 (последняя цифра)

Теперь мы можем сложить последние цифры чисел: 7 + 2 = 9

Таким образом, последняя цифра суммы 7777^2222 + 2222^7777 равна 9.