Question

Сформулируйте и докажите необходимый и достаточный признак делимости а на 2, 3, 4, 9, 12

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

2, 8, 16, 24, 66, 150 — делятся на 2, так как последняя цифра этих чисел четная;

3, 7, 19, 35, 77, 453 — не делятся на 2, так как последняя цифра этих чисел нечетная.

75 — делится на 3, так как 7+5=12, и число 12 делится на 3 (12:3=4);

471 — делится на 3, так как 4+7+1=12, и число 12 делится на 3 (12:3=4);

532 — не делится на 3, так как 5+3+2=10, а число 10 не делится на 3 (10:3=3  1 3 ).

4576 — делится на 4, так как число 76 делится на 4 (7·2+6=20, 20:4=5);

9634 — не делится на 4, так как число 34 не делится на 4 (3·2+4=10, 10:4=2  1 2 ).

468, 4788, 69759 — делятся на 9, так как сумма их цифр делится на девять (4+6+8=18, 4+7+8+8=27, 6+9+7+5+9=36);

861, 3458, 34681 — не делятся на 9, так как сумма их цифр не делится на девять (8+6+1=15, 3+4+5+8=20, 3+4+6+8+1=22).

Определить, какие из чисел делятся на 12:

1) 876;  

2) 1128;

3) 2485;

4) 3844;

5) 61176;

6) 64692;

7) 170760.

Решение:  

1) 876: 8+7+6=21. 21 делится на 3, следовательно, 876 также делится на 3.

Answer 2

Признак делимости числа на какое-либо другое число устанавливает условия, при которых данное число делится на другое число без остатка. Для каждого из чисел 2, 3, 4, 9 и 12 мы можем сформулировать необходимый и достаточный признак делимости.

1. Делимость на 2: Необходимый и достаточный признак делимости числа на 2 заключается в том, что последняя цифра числа должна быть четной (0, 2, 4, 6, 8).

Доказательство: Пусть дано целое число а. Любое целое число можно представить в виде a = 2k + r, где k - частное от деления a на 2, а r - остаток от деления a на 2 (равен 0 или 1). Если r = 0, то a делится нацело на 2. Если r = 1, то a = 2k + 1, и a не делится нацело на 2. Следовательно, делимость на 2 зависит только от остатка r, то есть от последней цифры числа.

2. Делимость на 3: Необходимый и достаточный признак делимости числа на 3 заключается в том, что сумма его цифр также должна быть делится на 3.

Доказательство: Пусть дано целое число а = a_n a_{n-1} ... a_1 a_0, где a_i - i-я цифра числа. Тогда а = 10^n * a_n + 10^{n-1} * a_{n-1} + ... + a_1 * 10 + a_0. Заметим, что 10^n ≡ 1 (mod 3), так как 10^n - 1 = 999...9 (n девяток) делится на 3. Следовательно, a ≡ a_n + a_{n-1} + ... + a_1 + a_0 (mod 3). Если a_n + a_{n-1} + ... + a_1 + a_0 делится нацело на 3, то и а делится нацело на 3.

3. Делимость на 4: Необходимый и достаточный признак делимости числа на 4 заключается в том, что последние две цифры числа образуют число, делящееся на 4.

Доказательство: Пусть дано целое число а = ...a_3 a_2 a_1 a_0, где a_i - i-я цифра числа. Тогда а = ... + 100a_3 + 10a_2 + a_1 * 10 + a_0. Заметим, что 100 ≡ 0 (mod 4), так как 100 = 4 * 25 делится на 4. Следовательно, a ≡ 10a_2 + a_1 * 10 + a_0 ≡ 10(a_2 + a_1 * 10 + a_0) (mod 4). Если a_2 + a_1 * 10 + a_0 делится нацело на 4, то и а делится нацело на 4.

4. Делимость на 9: Необходимый и достаточный признак делимости числа на 9 заключается в том, что сумма его цифр также должна быть делится на 9.

Доказательство: Аналогично делимости на 3, можно показать, что если сумма цифр числа делится на 9, то само число тоже делится на 9.

5. Делимость на 12: Необходимый и достаточный признак делимости числа на 12 заключается в том, что оно должно быть одновременно делиться на 3 и 4 (см. выше).

Таким образом, для каждого из чисел 2, 3, 4, 9 и 12 существуют четкие необходимые и достаточные признаки делимости, которые можно использовать для проверки деления числа нацело на указанные числа.