Question

З партії у 40 виробів, яка містить 20 % браку, навмання виймають 7 виробів. Знайти ймовірність того, що серед вийнятих виявиться 5 бракованих виробів.

Answer 1

Серед 40 виробів 40 * 0,2 = 8 виробів містять брак.

Кількість всіх можливих варіантів вибрати 7 виробів дорівнює $C^7_{40}$.

Вибрати 5 бракованих виробів можна $C^5_8$ способами, а 2 хороших виробів — $C^2_{32}$. За правилом множення, варіантів всього $C^5_8C^2_{32}$.

Отже, шукана ймовірність $P=\dfrac{C^5_8C^2_{32}}{C^7_{40}}=\dfrac{27776}{18643560}=\dfrac{3472}{2330445}\approx0{,}0015$

Answer 2

Щоб знайти ймовірність того, що серед вийнятих 7 виробів буде 5 бракованих, ми можемо використовувати біноміальний розподіл, оскільки ми маємо два можливих результати (бракований або не бракований) для кожного виробу і незалежні спроби.

Параметри біноміального розподілу: n - кількість спроб (в даному випадку, вийнятих виробів) = 7 p - ймовірність успіху (в даному випадку, ймовірність витягнути бракований виріб) = 20% = 0.2 k - кількість успіхів (в даному випадку, 5 бракованих виробів)

Ймовірність успіху (витягнути бракований виріб) позначимо як p, а ймовірність невдачі (витягнути нормальний виріб) як q = 1 - p.

Формула біноміального розподілу: P(X = k) = C(n, k) * p^k * q^(n - k),

де C(n, k) - кількість поєднань n по k.

У нашому випадку: n = 7, p = 0.2, k = 5, q = 1 - p = 0.8.

Тепер підставимо значення у формулу: P(X = 5) = C(7, 5) * 0.2^5 * 0.8^(7 - 5).

Обчислити кількість поєднань: C(7, 5) = 7! / (5! * (7 - 5)!) = 21.

Підставимо все і обчислимо: P(X = 5) = 21 * 0.2^5 * 0.8^2 ≈ 0.1327.

Отже, ймовірність того, що серед вийнятих 7 виробів буде 5 бракованих, приблизно дорівнює 0.1327 або 13.27%.