Question

Интеграл (x^2 +2x+3)e^2xdx

Answer 1

Ответ:

решение на фотографии

Answer 2

Для решения данного интеграла, вам понадобится использовать метод интегрирования по частям. Формула для интегрирования по частям выглядит следующим образом:

∫ u dv = uv - ∫ v du,

где u и v - это функции переменной x, а du и dv - их дифференциалы.

Давайте применим этот метод к вашему интегралу ∫ (x^2 + 2x + 3)e^(2x) dx:

Пусть: u = x^2 + 2x + 3 => du = (2x + 2) dx, dv = e^(2x) dx => v = (1/2) * e^(2x).

Теперь, применяя формулу интегрирования по частям, получим:

∫ (x^2 + 2x + 3)e^(2x) dx = (x^2 + 2x + 3) * (1/2) * e^(2x) - ∫ (1/2) * e^(2x) * (2x + 2) dx.

Упростим первое слагаемое: = (1/2) * (x^2 + 2x + 3) * e^(2x).

Теперь рассмотрим второе слагаемое в правой части: = -∫ (e^(2x) * (x + 1)) dx.

Для интегрирования оставшегося интеграла мы можем воспользоваться методом интегрирования по частям снова. Пусть: u = x + 1 => du = dx, dv = e^(2x) dx => v = (1/2) * e^(2x).

Применяем формулу интегрирования по частям к оставшемуся интегралу: -∫ (e^(2x) * (x + 1)) dx = -(x + 1) * (1/2) * e^(2x) + ∫ (1/2) * e^(2x) dx = -(1/2) * (x + 1) * e^(2x) + (1/4) * e^(2x).

Таким образом, окончательное решение интеграла будет: (1/2) * (x^2 + 2x + 3) * e^(2x) - (1/2) * (x + 1) * e^(2x) + (1/4) * e^(2x) + C,

где C - постоянная интегрирования.