Question

Квадратная таблица 3×3 заполнена попарно различными цифрами таким образом, что все трехзначные числа, которые можно прочитать в строках этой таблицы слева направо и в столбцах сверху вниз, делятся на 6. Сколько из этих шести чисел могут делиться на 5? Перечислите все возможности и докажите, что других возможностей нет.СРОЧНО!!! ДАЮ 50 БАЛЛОВ

Answer 1

Ответ: Только одно число кратное $5$, других вариантов быть не может.

Пошаговое объяснение:

Поскольку все числа слева направо и сверху вниз делятся на $6$, то они являются четными, а значит кончаются на четную цифру. То есть все $5$ цифр находящихся в третьем ряду (сверху) или третьем столбце (справа) являются четными. А поскольку среди цифр от $0$ до $9$ , четных как раз ровно пять: $0;2;4;6;8$ , то все данные цифры висят в третьем ряду или третьем столбце.  Число делиться на 5, когда оно кончается на 0 или 5, но цифра 5 нам не подходит, ибо является нечетной. Поэтому число кратное 5 кончается на 0.

Если цифра $0$ находиться в правом нижнем углу, то возможно два числа кратных $5$, в иных же случаях может быть не более одного числа кратного пяти, поскольку цифра 0 является пересечением ровной одной строки и одного столбца.

Рассмотрим случай, когда $0$ находится в правом нижнем углу.

Поскольку число кратно $6$, то оно кратно и $3$, а значит сумма цифр делиться на 3. При данной конфигурации цифра 0 является пересечением третьей строки и третьего столбца, а значит сумма всех остальных четных чисел кратна 3, однако :

$2+4+6+8=20$, что не делиться на 3.

Таким образом, данный случай невозможен.

Рассмотрим теперь случай, когда число кратное $5$, единственное.

В силу симметрии таблицы выберем произвольно, что $0$ будет находиться во второй строке и третьем столбце.  Добиться нужного расположения чисел в данном случае достаточно легко, используя, что сумма цифр делиться на $3$. (Смотрите рисунок $1$)

Все трехзначные числа сверху вниз и слева направо делятся на $6$.

Добиться того, чтобы ни одно из чисел не делилось на $5$ невозможно, поскольку $0$ стоит в одном из мест третьего столбца или третьей строки.

Answer 2

Давайте рассмотрим данную задачу поэтапно:

1. Все трехзначные числа, которые можно получить из данной таблицы, будут иметь вид XYZ, где X, Y и Z - цифры, находящиеся в соответствующих позициях.

2. Если мы хотим, чтобы трехзначные числа, полученные из строк и столбцов, делились на 6, то они должны быть делителями 6. Делители 6: 1, 2, 3 и 6.

3. Трехзначные числа, которые могут получиться из таблицы, это 3-значные перестановки попарно различных цифр. Таких перестановок 3: 123, 132, 213, 231, 312, 321.

4. Чтобы число было делителем 6, оно должно быть как минимум делителем 2 и делителем 3. Таким образом, если трехзначное число делится на 6, то оно делится и на 2, и на 3.

5. Числа, которые могут делиться на 3 из представленных перестановок: 123, 213, 231, 321. Числа, которые могут делиться на 2 из представленных перестановок: 132, 312.

Теперь давайте определим, сколько из этих чисел могут делиться на 5.

6. Трехзначные числа, делящиеся на 5, должны оканчиваться на 0 или 5. Однако в данной таблице нет цифры 0. Таким образом, нам нужно рассмотреть только те числа, которые оканчиваются на 5.

7. Из перестановок, которые мы получили ранее, только 315 оканчивается на 5.

Итак, из предоставленных условиями таблицы только одно число, 315, может делиться на 5.

Других возможностей нет, так как это единственное число, которое оканчивается на 5.

Подведем итоги: Из шести чисел, которые можно получить из заданной таблицы и делятся на 6, только одно число, 315, также делится на 5.