Question

Срочно помощь с мнимой единицей (1+i)^15

Answer 1

$(1 + i) {}^{15}$

$( \sqrt{2} ( \cos( \frac{\pi}{4} ) + i \cdot \sin( \frac{\pi}{4} ) ) \big) {}^{15}$

$\sqrt{2} {}^{15} ( \cos(15 \frac{\pi}{4} ) + i \cdot \sin(15 \frac{\pi}{4} ) )$

$128 \sqrt{2} ( \cos( \frac{15\pi}{4} ) + i \cdot \sin( \frac{15\pi}{4} ) )$

$128 \sqrt{2} ( \cos( \frac{7\pi}{4} + 2\pi ) + i \cdot \sin( \frac{7\pi}{4} + 2\pi) )$

Ответ:

$128 \sqrt{2} ( \cos( \frac{7\pi}{4}) + i \cdot \sin( \frac{7\pi}{4}) )$

Answer 2

Конечно, я могу помочь вам вычислить значение выражения (1+i)^15. Давайте разберемся.

Сначала давайте выразим число 1+i в полярной форме. Для этого найдем модуль (расстояние от нуля до точки) и аргумент (угол между положительным направлением оси x и линией, соединяющей точку и начало координат) числа 1+i:

Модуль: |1+i| = √(1^2 + 1^2) = √2

Аргумент: θ = arctan(1/1) = π/4 (45 градусов)

Таким образом, число 1+i в полярной форме имеет вид √2 * (cos(π/4) + i * sin(π/4)).

Теперь, чтобы возвести это число в 15-ю степень, мы можем возвести его модуль в 15-ю степень и умножить на аргумент, умноженный на 15:

(√2)^15 * (cos(15 * π/4) + i * sin(15 * π/4))

(√2)^15 = 2^(15/2) = 2^7 * √2 = 128√2

Аргумент 15 * π/4 = 15 * (π/4) = 15 * π/4 = 15 * (45 градусов) = 675 градусов = 315 градусов (по модулю)

Следовательно, выражение (1+i)^15 равно: 128√2 * (cos(315 градусов) + i * sin(315 градусов))

Поскольку cos(315 градусов) = -√2/2, а sin(315 градусов) = -√2/2, мы получаем:

(128√2) * (-√2/2 - i * √2/2) -128 - 128i

Итак, (1+i)^15 = -128 - 128i.