Question

К хоббиту Бильбо Бэггинсу пожаловала делегация уважаемых гномов. Бильбо как радушный хозяин угощал гостей. Но, поскольку Бильбо был всё-таки хоббитом, он наблюдал за гномами и прикидывал размер ущерба, нанесённый его запасам в кладовой. Балин и Бофур выпивают кувшин компота за 19 мин, Бофур и Дори выпивают тот же кувшин за 57 мин, Дори и Балин — за 76 мин.За сколько минут выпьют этот кувшин трое гномов? Ответ: втроём гномы выпьют кувшин компота за   мин.​

Answer 1

Ответ:

Троя гномов выпьют кувшин за одну минуту

Answer 2

Давайте воспользуемся системой уравнений для решения этой задачи. Пусть $x$ - это количество минут, за которое трое гномов (Балин, Бофур и Дори) выпьют кувшин компота.

Из условия задачи у нас есть следующие уравнения:

1. Балин и Бофур выпивают кувшин компота за 19 минут: $\frac{1}{19}x$ - доля работы, выполняемая Балином за $x$ минут, $\frac{1}{19}x$ - доля работы, выполняемая Бофуром за $x$ минут.

2. Бофур и Дори выпивают кувшин компота за 57 минут: $\frac{1}{57}x$ - доля работы, выполняемая Бофуром за $x$ минут, $\frac{1}{57}x$ - доля работы, выполняемая Дори за $x$ минут.

3. Дори и Балин выпивают кувшин компота за 76 минут: $\frac{1}{76}x$ - доля работы, выполняемая Дори за $x$ минут, $\frac{1}{76}x$ - доля работы, выполняемая Балином за $x$ минут.

Сложив все доли работ, должно получиться полное количество работы, которое равно 1 (полный кувшин компота):

$\frac{1}{19}x + \frac{1}{19}x + \frac{1}{57}x + \frac{1}{57}x + \frac{1}{76}x + \frac{1}{76}x = 1$.

Суммируя коэффициенты перед $x$ и упрощая уравнение, получаем:

$\frac{6}{19}x + \frac{2}{57}x + \frac{2}{76}x = 1$.

Теперь решим это уравнение относительно $x$:

$\frac{6}{19}x + \frac{2}{57}x + \frac{2}{76}x = 1$.

Наименьшее общее кратное для 19, 57 и 76 равно 17276. Умножим каждое слагаемое на соответствующее число, чтобы избавиться от дробей:

$6 \cdot 908x + 2 \cdot 302x + 2 \cdot 227x = 17276$.

$5456x + 604x + 454x = 17276$.

$6514x = 17276$.

Теперь разделим обе стороны на 6514, чтобы найти $x$:

$x = \frac{17276}{6514} ≈ 2.651$.

Итак, трое гномов выпьют кувшин компота за около 2.651 минуты.