Question

Помогите найти площадь фигуры ограниченной линиями y^2=2x^3 ; x^2=2y

Answer 1

Ответ:

$\sqrt[3]{2}$

у=$\frac{1}{2}x^{2}$

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Для того чтобы найти площадь фигуры, ограниченной кривыми $y^2 = 2x^3$ и $x^2 = 2y$, вам сначала нужно найти точки пересечения этих двух кривых. После этого можно будет найти интеграл от $x$ вдоль этой области, чтобы найти площадь между кривыми.

1. Начнем с нахождения точек пересечения. Для этого приравняем уравнения $y^2 = 2x^3$ и $x^2 = 2y$:

   $y^2 = 2x^3$ $x^2 = 2y$

2. Теперь можно решить это систему уравнений. Для начала выразим $y$ из второго уравнения:

   $x^2 = 2y$ $y = \frac{x^2}{2}$

3. Теперь подставим это значение $y$ в первое уравнение:

   $\left(\frac{x^2}{2}\right)^2 = 2x^3$

4. Упростим уравнение:

   $\frac{x^4}{4} = 2x^3$

5. Перенесем все члены в одну сторону и получим:

   $\frac{x^4}{4} - 2x^3 = 0$

6. Теперь можно решить это уравнение. Факторизуем его:

   $x^3\left(\frac{x}{4} - 2\right) = 0$

7. Это уравнение имеет два корня:

   • $x = 0$
   • $\frac{x}{4} - 2 = 0 \Rightarrow x = 8$

8. Теперь найдем соответствующие значения $y$ для этих $x$, используя $y = \frac{x^2}{2}$:

   • При $x = 0$, $y = \frac{0^2}{2} = 0$
   • При $x = 8$, $y = \frac{8^2}{2} = 32$

Итак, у нас есть две точки пересечения: (0, 0) и (8, 32). Теперь мы можем найти площадь между этими кривыми, интегрируя по $x$ от 0 до 8:

$S = \int_{0}^{8} (\text{верхняя кривая} - \text{нижняя кривая}) dx$

В данном случае, верхняя кривая - это $y^2 = 2x^3$, а нижняя кривая - $x^2 = 2y$. Итак:

$S = \int_{0}^{8} \left(2x^3 - \frac{x^2}{2}\right) dx$

Теперь найдем этот интеграл:

$S = \left[\frac{2x^4}{4} - \frac{x^3}{6}\right]_{0}^{8}$

$S = \left[\frac{1}{2}x^4 - \frac{1}{6}x^3\right]_{0}^{8}$

Теперь подставим верхний и нижний пределы:

$S = \left(\frac{1}{2}(8^4) - \frac{1}{6}(8^3)\right) - \left(\frac{1}{2}(0^4) - \frac{1}{6}(0^3)\right)$