Question

Покажите что данная функция F(x) является первоообразной для f(x) F(x) =2sqrtx, f(x) =1/sqrtx F(x) =2/sqrtx+x, f(x) = - (1/xsqrtx)+1 F(x) =(x^4/4)+3x+1, f(x) =x^3+3 F(y) =cos5y+y, f(y) =-5sin5y+1 F(Z) =1/z-1,f(z)=-1/(z-1)^2

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Чтобы доказать, надо, чтобы  F'(x)=f(x)

F'(x)=(2Vx)'=2*1/2Vx=1/Vx,   (V- корень)

F'(x)=(x^4/4 +3x+1)'=1/4 *4x^3 +3+0=x^3 +3

F'(x)=(cos5y+y)'=-5sin5x+1

F'(z)=(1/(z-1))'=- 1/(z-1)^2,   по формуле  (1/x)'=-1/x^2

Answer 2

Для показания того, что функция F(x) является первообразной для функции f(x), нужно убедиться, что производная функции F(x) совпадает с функцией f(x).

1. Функции: F(x) = 2√x и f(x) = 1/√x F'(x) = d/dx (2√x) = 1/√x = f(x) Так как F'(x) = f(x), то F(x) является первообразной для f(x).

2. Функции: F(x) = 2/√x + x и f(x) = -1/(x√x) + 1 F'(x) = d/dx (2/√x + x) = -1/(x√x) + 1 = f(x) Так как F'(x) = f(x), то F(x) является первообразной для f(x).

3. Функции: F(x) = (x^4)/4 + 3x + 1 и f(x) = x^3 + 3 F'(x) = d/dx ((x^4)/4 + 3x + 1) = x^3 + 3 = f(x) Так как F'(x) = f(x), то F(x) является первообразной для f(x).

4. Функции: F(y) = cos(5y) + y и f(y) = -5sin(5y) + 1 F'(y) = d/dy (cos(5y) + y) = -5sin(5y) + 1 = f(y) Так как F'(y) = f(y), то F(y) является первообразной для f(y).

5. Функции: F(z) = 1/z - 1 и f(z) = -1/(z - 1)^2 F'(z) = d/dz (1/z - 1) = -1/(z^2) = f(z) Так как F'(z) = f(z), то F(z) является первообразной для f(z).

Таким образом, во всех перечисленных случаях функция F(x) является первообразной для соответствующей функции f(x).