Question

Способ приблизительного нахождения квадратного корня древних ва- вилонян можно современным языком записать следующим образом: b VaP + b = a + . 2а Например, так как 28 = 52 +3, то согласно формуле 3 получим N28 = 25 + 3x5+ = 5,3. 2.5 Приближенное значение квадратного корня найдите различными спо- собами. Сравните ответ с результатом, полученным на калькуляторе. а) V40 b) 19 c) V70 d) V85

Answer 1

Вычисление квадратного корня по методу древних вавилонян.

Его ещё называют "Второй метод Герона".

а) √40 = √(6² + 4) = 6 + (4/(2*6) = 6,33333.

b) √19 = √(4² + 3) = 4 + (3/(2*4) = 4,375.

c) √70 = √(8² + 6) = 8 + (6/(2*8) = 8,375.

d) √85 = √(9² + 4) = 9 + (4/(2*9) = 9,22222.

Точные данные:

√40 =  6,32455532 .

√19 =  4,358898944 .

√70 = 8,366600265.

√85 =  9,219544457 .

Answer 2

Древние вавилоняне использовали метод ближайших приближений для вычисления квадратных корней. Давайте рассмотрим применение этой методики для заданных значений и сравним результаты с помощью современных методов и калькулятора.

Формула, которую они использовали: $N = \frac{b + \frac{a}{b}}{2}$, где $N$ - приближенное значение корня, $a$ - число, из которого берется корень, $b$ - начальное приближение.

а) $\sqrt{40}$: Пусть $a = 40$ и начнем с $b = 6$: $N = \frac{6 + \frac{40}{6}}{2} = \frac{6 + \frac{20}{3}}{2} = \frac{6 + \frac{6.6667}{2}}{2} = \frac{6 + 3.3333}{2} = 4.66665$

Сравнение:

• Формула: $N \approx 4.66665$
• Калькулятор: $\sqrt{40} \approx 6.32456$

б) $\sqrt{19}$: Пусть $a = 19$ и начнем с $b = 4$: $N = \frac{4 + \frac{19}{4}}{2} = \frac{4 + 4.75}{2} = 4.375$

Сравнение:

• Формула: $N \approx 4.375$
• Калькулятор: $\sqrt{19} \approx 4.3589$

в) $\sqrt{70}$: Пусть $a = 70$ и начнем с $b = 8$: $N = \frac{8 + \frac{70}{8}}{2} = \frac{8 + 8.75}{2} = 8.375$

Сравнение:

• Формула: $N \approx 8.375$
• Калькулятор: $\sqrt{70} \approx 8.3666$

г) $\sqrt{85}$: Пусть $a = 85$ и начнем с $b = 9$: $N = \frac{9 + \frac{85}{9}}{2} = \frac{9 + 9.4444}{2} = 9.2222$

Сравнение:

• Формула: $N \approx 9.2222$
• Калькулятор: $\sqrt{85} \approx 9.2195$

Как видно из сравнения результатов, метод древних вавилонян дает довольно хорошие приближенные значения, но современные методы и технологии, такие как калькуляторы, позволяют получить более точные результаты.