Question

Полная поверхность цилиндра 24Π. Каким должен быть радиус основания чтобы его объем был наибольшим

Answer 1

Пусть H − высота цилиндра, а R − радиус его основания. Полная площадь поверхности цилиндра вычисляется по формуле

S=2πR^2+2πRH.

Из теории оптимизации известно, что цилиндр при заданной площади поверхности имеет максимальный объём при высоте, равной двум радиусам основания.

Заменим Н = 2R.

Получим формулу зависимости площади от радиуса.

S=2πR^2+2πR(2R) = 2πR^2+4πR^2 = 6πR^2.

Приравняем заданное значение площади.

24π = 6πR^2.

R = √(24/6) = √4 = 2.

Answer 2

Чтобы найти радиус основания цилиндра, при котором его объем будет наибольшим, мы можем использовать метод оптимизации. Объем цилиндра можно выразить формулой:

$V = \pi r^2 h,$

где $r$ - радиус основания, $h$ - высота цилиндра.

Дано, что полная поверхность цилиндра составляет $24\pi$. Полная поверхность цилиндра включает в себя боковую поверхность ($2\pi rh$) и два основания ($2\pi r^2$). Мы можем записать это в виде уравнения:

$2\pi rh + 2\pi r^2 = 24\pi.$

Выразим высоту $h$ через радиус $r$:

$h = \frac{24\pi - 2\pi r^2}{2\pi r} = 12 - r^2.$

Теперь мы можем подставить это выражение для высоты в формулу для объема:

$V = \pi r^2 (12 - r^2) = 12\pi r^2 - \pi r^4.$

Для того чтобы найти максимум объема, возьмем производную объема по $r$ и прировняем ее к нулю:

$\frac{dV}{dr} = 24\pi r - 4\pi r^3 = 4\pi r (6 - r^2) = 0.$

Это уравнение имеет корни $r = 0$ и $r = \sqrt{6}$. Исключая $r = 0$, так как это не имеет физического смысла, остается $r = \sqrt{6} \approx 2.45$.

Итак, радиус основания цилиндра должен быть примерно $2.45$ единицы, чтобы его объем был наибольшим при условии полной поверхности $24\pi$.