Question

Выразить симметрический многочлен P через симметрические многочлены u=x+y, v=xy, если 1.P=x3+y3, 2.P=x4+y4​

Answer 1

Ответ:

P= u(u^2-3v)

P=(u^2-2v)^2-2v^2

Пошаговое объяснение:

P=x^3+y^3=(x+y)(x^2+y^2-xy)= (x+y)(x^2+y^2+2xy-3xy)= (x+y)((x+y)^2-3xy)= u(u^2-3v)

P=x^4+y^4​=x^4+y^4​+2x^2y^2-2x^2y^2=(x^2+y^2)^2-2x^2y^2=(x^2+y^2+2xy-2xy)^2-2x^2y^2=((x+y)^2-2xy)^2-2x^2y^2=(u^2-2v)^2-2v^2

Answer 2

Для выражения симметрического многочлена P через симметрические многочлены u = x + y и v = xy, мы можем использовать теорему о симметрических многочленах. Эта теорема гласит, что любой симметрический многочлен можно выразить через элементарные симметрические многочлены, которые, в данном случае, являются u и v.

Для многочлена P = x^3 + y^3:

Сначала рассмотрим формулу для куба суммы двух переменных:

(u^3 - 3uv) = (x + y)^3 - 3(x + y)(xy)

Раскроем куб и умножим на -3:

u^3 - 3uv = (x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3) - 3(xy + x^2y + xy^2)

Упростим:

u^3 - 3uv = x^3 + y^3

Теперь выразим P через симметрические многочлены u и v:

P = u^3 - 3uv

Таким образом, для многочлена P = x^3 + y^3 верно выражение P = u^3 - 3uv.

Для многочлена P = x^4 + y^4:

Рассмотрим формулу для четвёртой степени суммы двух переменных:

(u^4 - 4u^2v + 2v^2) = (x + y)^4 - 4(x + y)^2(xy) + 2(xy)^2

Раскроем четвёртую степень и умножим на -4:

u^4 - 4u^2v + 2v^2 = (x^4 + 4x^3y + 6x^2y^2 + 4xy^3 + y^4) - 4(x^2 + 2xy + y^2)(xy) + 2(xy)^2

Упростим:

u^4 - 4u^2v + 2v^2 = x^4 + y^4

Теперь выразим P через симметрические многочлены u и v:

P = u^4 - 4u^2v + 2v^2

Таким образом, для многочлена P = x^4 + y^4 верно выражение P = u^4 - 4u^2v + 2v^2.