Question

выразить симметрический многочлен P через симметрическик многочлены u=x+y, v=xy, если P=x^3+y^3, P=x^4+y^4​

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

$x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)=(x+y)(x^2+y^2+2xy-3xy)=(x+y)((x+y)^2-3xy)=u(u^2-3v)\\x^4+y^4=(x^2)^2+(y^2)^2=(x^2)^2+(y^2)^2+2x^2y^2-2x^2y^2=(x^2+y^2)^2-2x^2y^2=(x^2+y^2+2xy-2xy)^2+2x^2y^2=((x+y)^2-2xy)^2+2x^2y^2=(u^2-2v)^2+2v^2=u^4-4u^2v+4v^2+2v^2=u^4-4u^2v+6v^2$

Answer 2

Симметрические многочлены можно выразить через элементарные симметрические функции (ESF) многочленов u и v. Для многочленов P1 = x^3 + y^3 и P2 = x^4 + y^4, выразим их через ESF u и v.

1. Для P1 = x^3 + y^3: Используем формулу суммы кубов: x^3 + y^3 = (x + y) * (x^2 - xy + y^2) Теперь выразим x^2 и y^2 через ESF: x^2 = (x + y)^2 - 2xy = u^2 - 2v y^2 = (x + y)^2 - 2xy = u^2 - 2v

   Заменяя в исходном уравнении: P1 = u * (u^2 - 2v - xy) = u^3 - 2uv - uxy

2. Для P2 = x^4 + y^4: Используем формулу разности квадратов: x^4 + y^4 = (x^2 + y^2)^2 - 2x^2y^2

   Подставляем выражения для x^2 и y^2 через ESF: x^2 = u^2 - 2v y^2 = u^2 - 2v

   Заменяя в исходном уравнении: P2 = (u^2 - 2v)^2 - 2(u^2 - 2v)^2 = u^4 - 4u^2v + 4v^2 - 2u^4 + 8u^2v - 8v^2 = -u^4 + 4u^2v - 4v^2

Таким образом, симметрические многочлены P1 и P2 можно выразить через симметрические многочлены u и v следующим образом:

1. Для P1 = x^3 + y^3: P1 = u^3 - 2uv - uxy

2. Для P2 = x^4 + y^4: P2 = -u^4 + 4u^2v - 4v^2