Question

Y''+y=cosx+cos2x помогите решить

Answer 1

Ответ:

cos(x)+cos(2x)

y=__________ x€R

2

Answer 2

Для решения данного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами нужно выполнить несколько шагов.

Данное уравнение имеет вид:

$Y'' + Y = \cos(x) + \cos(2x).$

1. Сначала найдем общее решение однородного уравнения $Y'' + Y = 0$. Это уравнение имеет характеристическое уравнение $r^2 + 1 = 0$, которое имеет комплексные корни: $r = \pm i$. Общее решение однородного уравнения:

$Y_h(x) = c_1 \cos(x) + c_2 \sin(x),$

где $c_1$ и $c_2$ - произвольные постоянные.

2. Теперь найдем частное решение неоднородного уравнения $Y'' + Y = \cos(x) + \cos(2x)$.

2.1 Для $\cos(x)$ можно предположить, что частное решение будет иметь вид $Y_p(x) = A \cos(x) + B \sin(x)$, где $A$ и $B$ - неизвестные коэффициенты. Подставим это в уравнение и найдем $A$ и $B$:

$Y_p''(x) + Y_p(x) = -A \cos(x) - B \sin(x) + A \cos(x) + B \sin(x) = 0.$

Таким образом, для $\cos(x)$ частное решение можно взять равным нулю, так как это уже присутствует в общем решении однородного уравнения.

2.2 Для $\cos(2x)$ предположим, что частное решение будет иметь вид $Y_p(x) = C \cos(2x) + D \sin(2x)$. Подставим это в уравнение и найдем $C$ и $D$:

$Y_p''(x) + Y_p(x) = -4C \cos(2x) - 4D \sin(2x) + C \cos(2x) + D \sin(2x) = -3C \cos(2x) - 3D \sin(2x).$

Чтобы сбалансировать коэффициенты, нужно $C = -1/3$ и $D = 0$.

Итак, частное решение для $\cos(2x)$:

$Y_p(x) = -\frac{1}{3} \cos(2x).$

Итак, общее решение неоднородного уравнения:

$Y(x) = Y_h(x) + Y_p(x) = c_1 \cos(x) + c_2 \sin(x) - \frac{1}{3} \cos(2x).$