Question

Помогите решить НЛДУ y"-4y= f(x), где функция f(x) имеет следующий вид: 1) sin2x -2cos2x2) y(0)=y'(o)=0​

Answer 1

Ответ:

решение на фотографии

Answer 2

Для решения данного неоднородного линейного дифференциального уравнения (НЛДУ) сначала найдем общее решение соответствующего однородного уравнения, а затем воспользуемся методом вариации постоянных для нахождения частного решения неоднородного уравнения.

Исходное однородное уравнение: y'' - 4y = 0.

Характеристическое уравнение: r^2 - 4 = 0. Решим это уравнение для нахождения характеристических корней: r^2 = 4, r = ±2.

Таким образом, общее решение однородного уравнения имеет вид: y_h(x) = c1 * e^(2x) + c2 * e^(-2x),

где c1 и c2 - произвольные постоянные.

Теперь рассмотрим неоднородное уравнение: y'' - 4y = f(x).

1. f(x) = sin(2x) - 2cos(2x): Для нахождения частного решения воспользуемся методом вариации постоянных. Предположим, что частное решение имеет вид y_p(x) = u(x) * e^(2x), где u(x) - функция, которую мы хотим найти. Тогда y_p'(x) = u'(x) * e^(2x) + 2u(x) * e^(2x), и y_p''(x) = u''(x) * e^(2x) + 4u'(x) * e^(2x) + 4u(x) * e^(2x).

Подставляя это в неоднородное уравнение, получаем: u''(x) * e^(2x) + 4u'(x) * e^(2x) + 4u(x) * e^(2x) - 4(u(x) * e^(2x)) = sin(2x) - 2cos(2x), u''(x) * e^(2x) + 4u'(x) * e^(2x) = sin(2x) - 2cos(2x).

Дифференцируем последнее уравнение по x: u'''(x) * e^(2x) + 8u''(x) * e^(2x) = 2cos(2x) + 4sin(2x).

Теперь подставим u(x) = A * cos(2x) + B * sin(2x) в полученное уравнение и решим систему для поиска A и B: u'''(x) * e^(2x) + 8u''(x) * e^(2x) = 2cos(2x) + 4sin(2x), -4A * e^(2x) + 4B * e^(2x) + 8(-2A * e^(2x) + 2B * e^(2x)) = 2cos(2x) + 4sin(2x), -20A * e^(2x) + 20B * e^(2x) = 2cos(2x) + 4sin(2x).

Сравнивая коэффициенты при синусе и косинусе, получаем систему уравнений: -20A = 4, 20B = -2.

Отсюда находим A = -0.2 и B = -0.1, и окончательно частное решение имеет вид: y_p(x) = (-0.2 * cos(2x) - 0.1 * sin(2x)) * e^(2x).

Общее решение неоднородного уравнения: y(x) = y_h(x) + y_p(x) = c1 * e^(2x) + c2 * e^(-2x) - 0.2 * e^(2x) * cos(2x) - 0.1 * e^(2x) * sin(2x).

Учитывая начальные условия y(0) = 0 и y'(0) = 0, подставляем их в общее решение и находим значения постоянных c1 и c2: y(0) = c1 + c2 - 0.2 = 0, c1 + c2 = 0.2.

y'(x) = 2c1 * e^(2x) - 2c2 * e^(-2x) - 0.4 * e^(2x) * cos(2x) + 0.2 * e^(2x) * sin(2x), y'(0) = 2c1 - 2c2 = 0, 2c1 = 2c2.

Из этих уравнений получаем c1 = 0.1 и c2 = 0.1.

Таким образом, окончательное решение задачи имеет вид: y(x) = 0.1 * e^(2x) + 0.1 * e^(-2x) - 0.2 * e^(2x) * cos(2x) - 0.1 * e^(2x) * sin(2x).