Question

Помогите пожалуйста. Найти частное решение дифференциального уравнения первого порядка dy+y*tgxdx=0, y=1, при x=0 решите пожалуйста подробно.

Answer 1

Ответ:

Это ДУ с разделяющимися переменными, поэтому все, что нужно, это перенести за знак равно и "скомпоновать" с помощью пропорции. Находим интегралы: справа синус заносим под знак дифференциала, а так как (cosx)'=-sinx, следовательно знак за интегралом с минуса меняется на плюс. Константу можно представить в любом виде, поэтому я пишу ln(C), чтобы избавиться от логарифма. Получили ответ, подставили -> Частное решение.

ОР - общее решение

Answer 2

Конечно, давайте решим данное дифференциальное уравнение.

У нас дано дифференциальное уравнение первого порядка:

$$\frac{dy}{dx} + y \tan(x) = 0$$

Для решения этого уравнения мы можем использовать метод разделяющихся переменных. Сначала давайте перепишем уравнение в виде, удобном для интегрирования:

$$\frac{dy}{y} = -\tan(x) dx$$

Теперь мы можем взять интеграл от обеих сторон:

$$\int \frac{dy}{y} = -\int \tan(x) dx$$

Интегралы слева и справа можно вычислить:

$$\ln|y| = \ln|\cos(x)| + C_1$$

где $C_1$ — произвольная постоянная интегрирования.

Мы получили логарифмическое уравнение. Для избавления от логарифма можно применить экспоненту к обеим сторонам:

$$|y| = e^{\ln|\cos(x)| + C_1}$$

Так как мы имеем модуль на левой стороне, то можно представить это как два случая:

1. Если $y > 0$: $y = e^{C_1} \cdot \cos(x)$

2. Если $y < 0$: $y = -e^{C_1} \cdot \cos(x)$

Теперь, учитывая начальное условие $y = 1$ при $x = 0$, мы можем найти конкретное значение для постоянной $C_1$:

При $x = 0$, $y = 1$, поэтому: $1 = e^{C_1} \cdot \cos(0) = e^{C_1}$

Отсюда следует, что $C_1 = 0$, и мы получаем:

$y = \cos(x)$

Итак, частным решением дифференциального уравнения является функция $y = \cos(x)$.