Question

Срочно! Помогите с системой уравнения 2^x*9^y=162 ; 3^x*4^y=48

Answer 1

Ответ:

$x=1\\y=2$

Пошаговое объяснение:

Приведем все степени к основаниям 2 и 3:

$9^y=3^{2y}\\\\4^y=2^{2y}$

Тогда система перепишется в виде:

$></p> <p>Поделим левые и правые части:</p> <p><img src=$

Сравнением степеней с одинаковыми основаниями можно понять, что

$x-2y=-3\\\\x=2y-3$

Подставим это значение во второе уравнение системы:

$3^{2y-3}\cdot2^{2y}=48\\3^{2y}\cdot 2^{2y}=48\cdot 3^3$

Представим 48 в виде произведения 2 и 3 :

$48=2^4\cdot 3^1$

Тогда:

$3^{2y}\cdot 2^{2y}=2^4\cdot3^1\cdot 3^3\\3^{2y}\cdot 2^{2y}=2^4\cdot 3^4\\\\2y=4\\y=2$

При этом x равен:

$x=2y-3=2\cdot 2-3=1$

Answer 2

Конечно, давайте решим эту систему уравнений. Первое уравнение:

$2^x \cdot 9^y = 162$

Мы можем выразить $9$ как $3^2$, чтобы упростить уравнение:

$2^x \cdot (3^2)^y = 162$

$2^x \cdot 3^{2y} = 162$

А также второе уравнение:

$3^x \cdot 4^y = 48$

Мы можем выразить $4$ как $2^2$:

$3^x \cdot (2^2)^y = 48$

$3^x \cdot 2^{2y} = 48$

Теперь у нас есть две уравнения:

$2^x \cdot 3^{2y} = 162$ $3^x \cdot 2^{2y} = 48$

Мы можем поделить второе уравнение на первое уравнение, чтобы избавиться от переменной $y$:

$\frac{3^x \cdot 2^{2y}}{2^x \cdot 3^{2y}} = \frac{48}{162}$

$\frac{3^x}{2^x} \cdot \frac{2^{2y}}{3^{2y}} = \frac{48}{162}$

$\left(\frac{3}{2}\right)^x \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{2y} = \frac{8}{27}$

Теперь мы видим, что $\left(\frac{3}{2}\right)^x \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{2y}$ равно $\frac{8}{27}$, что означает, что $x = 1$ и $2y = -3$, так как $\frac{8}{27} = \left(\frac{2}{3}\right)^3$.

Итак, $x = 1$, а $y = -\frac{3}{2}$.

Теперь мы можем проверить наши ответы, подставив их в исходные уравнения:

Первое уравнение: $2^1 \cdot 9^{-\frac{3}{2}} = 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{9^3}} = 2 \cdot \frac{1}{27} = \frac{2}{27}$

Второе уравнение: $3^1 \cdot 2^{-3} = 3 \cdot \frac{1}{8} = \frac{3}{8}$

Как видите, наши ответы подходят к исходным уравнениям. Таким образом, решение системы уравнений: $x = 1, \quad y = -\frac{3}{2}$