Question

Довести, що сума трьох послідовних степенів числа 2 діляться на 7​

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

2^x + 2^(x+1) + 2^(x+2) = 2^x(1 + 2 + 2^2) = 7 * 2^x - содержит множитель 7, а значит делится на 7

Answer 2

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Пусть x - остаток от деления какой-нибудь степени двойки на 7. Тогда 2x - остаток от деления следующей степени двойки на 7, 4x - остаток от деления следующей за ней степени двойки на 7. Складываем остатки и получаем x + 2x + 4x = 7x, что делится на 7 для любого х, то есть для любой изначальной степени двойки, что и требовалось доказать

Answer 3

Давайте доведемо це за допомогою математичної індукції.

Перш ніж почати доведення, ми можемо перелічити декілька початкових значень для переконливості:

2^1 = 2 - не ділиться на 7 2^2 = 4 - не ділиться на 7 2^3 = 8 - ділиться на 7 (8 = 7 * 1) 2^4 = 16 - не ділиться на 7 2^5 = 32 - не ділиться на 7 2^6 = 64 - не ділиться на 7 2^7 = 128 - ділиться на 7 (128 = 7 * 18) 2^8 = 256 - не ділиться на 7 ...

Зауважимо, що коли ми знаємо, що сума трьох послідовних степенів числа 2 ділиться на 7, ми хочемо довести, що наступна сума трьох послідовних степенів числа 2 також ділиться на 7.

Допустимо, що сума трьох послідовних степенів числа 2 ділиться на 7 для певного n:

2^n + 2^(n+1) + 2^(n+2) ділиться на 7. (припущення)

Ми хочемо довести, що сума трьох послідовних степенів числа 2 ділиться на 7 для n+1:

2^(n+1) + 2^(n+2) + 2^(n+3) ділиться на 7.

Ми можемо розкласти суму попередньої гіпотези (припущення) згідно з формулою:

2^(n+1) + 2^(n+2) + 2^(n+3) = 2^n * 2^1 + 2^n * 2^2 + 2^n * 2^3.

Факторизуємо 2^n:

2^(n+1) + 2^(n+2) + 2^(n+3) = 2^n * (2^1 + 2^2 + 2^3).

Тепер спростимо вираз у дужках:

2^1 + 2^2 + 2^3 = 2 + 4 + 8 = 14.

Таким чином, ми бачимо, що 2^1 + 2^2 + 2^3 = 14, і 14 ділиться на 7 (14 = 7 * 2).

Отже, ми показали, що якщо сума трь