Question

Найдите все значения параметра р, при которых многочлен имеет ровно три различных корня: 1) (x + 2)(х – 1)(х – 3)(х - р); 2) 5(х – 2)(х +11)(х – 5)(х + р); 3) (x^2 – x — 2)(х – 4)(х – 2р); 4) (x^2 + x — 2)(х + 1)(p – 2х);

Answer 1

Ответ:

ответ с решением на фотографии

Answer 2

Чтобы найти значения параметра р, при которых многочлен имеет ровно три различных корня, мы должны анализировать кратность корней многочлена. Три различных корня означают, что у нас есть один корень с кратностью 1 и два других корня также с кратностью 1.

Давайте рассмотрим каждый из данных многочленов:

1. (x + 2)(х – 1)(х – 3)(х - р): Этот многочлен имеет уже четыре различных корня: -2, 1, 3 и р. Чтобы оставить только три различных корня, нужно, чтобы корень р имел кратность 2. Таким образом, значение р = 0.

2. 5(х – 2)(х + 11)(х – 5)(х + р): Этот многочлен имеет пять корней: 2, -11, 5, -р и -р. Чтобы оставить только три различных корня, корни -р и -р должны иметь кратность 2. То есть, значение р не имеет ограничений для этого многочлена.

3. (x^2 – x – 2)(х – 4)(х – 2р): Этот многочлен имеет пять корней: 4, 2р и еще два корня, которые являются корнями квадратного трехчлена. Таким образом, корень 2р должен иметь кратность 2, и это означает, что р = 0.

4. (x^2 + x – 2)(х + 1)(р – 2х): Этот многочлен имеет четыре корня: -1, 2 и два корня, которые являются корнями квадратного трехчлена. Здесь корень 2 также должен иметь кратность 2, поэтому р = 0.

Таким образом, для всех данных многочленов единственное значение параметра р, при котором многочлен имеет ровно три различных корня, это р = 0.