Question

Докажи, что для n принадлежит N n2 + Зn— всегда четное ЧИСЛО

Answer 1

Пусть $n=2k,~ k\in \mathbb{N}$, то очевидность того, что $(2k)^2+3\times 2k$  чётное — приемлемо.

Пусть теперь $n=2k+1$, где $k \in \mathbb{Z}_+$, то $n^2+3n=4k^2+10k+4$ — чётно.

Следовательно, $n^2+3n$ при $n \in \mathbb{N}$ всегда чётное число.

Answer 2

Давайте докажем данное утверждение математически. Мы хотим доказать, что для любого натурального числа $n$, выражение $n^2 + 3n$ является четным числом.

Для доказательства четности числа, достаточно показать, что оно делится на 2 без остатка.

Начнем с выражения $n^2 + 3n$. Разложим его на множители:

$n^2 + 3n = n(n + 3).$

Теперь у нас есть два случая:

1. $n$ четное: Если $n$ четное, то $n = 2k$ для некоторого целого числа $k$. Подставим это значение в выражение:

$n(n + 3) = 2k(2k + 3) = 4k^2 + 6k = 2(2k^2 + 3k).$

Мы видим, что выражение делится на 2 без остатка, следовательно, оно четное.

2. $n$ нечетное: Если $n$ нечетное, то $n = 2k + 1$ для некоторого целого числа $k$. Подставим это значение в выражение:

$n(n + 3) = (2k + 1)(2k + 4) = 4k^2 + 10k + 4 = 2(2k^2 + 5k + 2).$

И в этом случае мы видим, что выражение также делится на 2 без остатка, следовательно, оно четное.

Таким образом, в обоих случаях $n^2 + 3n$ является четным числом для любого натурального числа $n$. Это завершает доказательство.