Question

Найти частное решение уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям: x dx - y (4+x^2) dy = 0 ; x=0; y=1​

Answer 1

Ответ:

,.,.,..,.,.,.,.,.,.., ,., ,.,,.

Answer 2

Данное дифференциальное уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Давайте найдем частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям.

Исходное уравнение: x dx - y (4 + x^2) dy = 0

Рассмотрим левую и правую части уравнения как дифференциалы:

d(x^2/2) - y (4 + x^2) dy = 0

Теперь проинтегрируем обе стороны уравнения:

∫ d(x^2/2) - ∫ y (4 + x^2) dy = ∫ 0

(x^2/2) - ∫ y (4 + x^2) dy = C

где C - произвольная постоянная интегрирования.

Проинтегрируем второе слагаемое:

(x^2/2) - ∫ (4y + x^2y) dy = C

(x^2/2) - [4∫ y dy + x^2∫ y dy] = C

(x^2/2) - (4y^2/2) - (x^2y^2/2) = C

Теперь подставим начальные условия x = 0, y = 1:

(0^2/2) - (4 * 1^2/2) - (0^2 * 1^2/2) = C 0 - 2 - 0 = C C = -2

Итак, уравнение в частном решении с учетом начальных условий будет:

(x^2/2) - (4y^2/2) - (x^2y^2/2) = -2

Это и есть частное решение исходного дифференциального уравнения с заданными начальными условиями.