Question

Х^4-x^3+4x^2-10=0 отрезок [1;3] допустимая погрешность 0.01 1. Отделить корни уравнения аналитически. 2. Уточнить один из корней методом хорд с заданной допустимой погрешностью.

Answer 1

Ответ:

сен 0 деп тур деп сенип турсин

Answer 2

Для аналитического отделения корней уравнения, давайте сначала проанализируем функцию:

$f(x) = x^4 - x^3 + 4x^2 - 10.$

1. Аналитическое отделение корней:

Для начала, давайте проанализируем поведение функции на отрезке [1;3]. Вычислим значения функции на концах отрезка:

$f(1) = 1^4 - 1^3 + 4 \cdot 1^2 - 10 = -5,$ $f(3) = 3^4 - 3^3 + 4 \cdot 3^2 - 10 = 80.$

Так как функция непрерывна на данном отрезке и меняет знак, это означает, что на этом отрезке у уравнения $f(x) = 0$ есть хотя бы один корень.

2. Уточнение корня методом хорд:

Метод хорд (или метод ложных позиций) позволяет уточнить корень уравнения, зная начальные приближения $x_0$ и $x_1$, а также желаемую допустимую погрешность $\varepsilon$.

Для этого, выберем начальные приближения $x_0 = 1$ и $x_1 = 3$, так как мы знаем, что на этом отрезке есть корень. Давайте найдем уравнение хорды, проходящей через точки $(x_0, f(x_0))$ и $(x_1, f(x_1))$:

$\frac{f(x_1) - f(x_0)}{x_1 - x_0} = \frac{f(3) - f(1)}{3 - 1} = \frac{80 - (-5)}{2} = 42.5.$

Теперь найдем пересечение этой хорды с осью абсцисс, то есть корень $x_2$:

$x_2 = x_1 - \frac{f(x_1) \cdot (x_1 - x_0)}{f(x_1) - f(x_0)} = 3 - \frac{80 \cdot 2}{42.5} \approx 1.776.$

Далее, можно использовать метод хорд последовательно, уточняя приближение к корню:

$x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n) \cdot (x_n - x_{n-1})}{f(x_n) - f(x_{n-1})}.$

Выполняя этот процесс итеративно, можно добиться нужной погрешности. Начнем с $x_2$ и продолжим до тех пор, пока разница между $x_{n+1}$ и $x_n$ не станет меньше заданной допустимой погрешности (0.01).

Пожалуйста, обратите внимание, что итерационные методы требуют внимательности и могут потребовать несколько шагов для достижения желаемой точности.