Question

На стороне AC прямоугольного треугольника ABC (угол C — прямой) отмечена точка D. На отрезке BD отмечена точка E так, что BE=AD. Оказалось, что серединные перпендикуляры к отрезкам AB и DE пересекаются на отрезке BC. Найдите длину отрезка BD, если известно, что AD=10, DC=8.

Answer 1

Ответ:

25

Пошаговое объяснение:

Если пишите ВСОШ,то ответ правильный

Answer 2

Обозначим середину отрезка AB как M, а серединные перпендикуляры к отрезкам AB и DE как p и q соответственно. Также обозначим точку пересечения перпендикуляров p и q как X.

Поскольку AM - это медиана прямоугольного треугольника ABC, то точка M также является центром окружности, описанной вокруг этого треугольника. Это означает, что угол MBC (угол между медианой и стороной треугольника) является прямым углом, и следовательно, BM перпендикулярно BC.

Так как M является серединой AB, то AM = MB. Поскольку BM перпендикулярно BC, то у нас есть два перпендикуляра (BM и DE), пересекающихся на прямой BC. Это означает, что эти две прямые также параллельны друг другу.

Теперь рассмотрим треугольник BDE. Так как BE = AD, и DE перпендикулярно BM, то у нас есть два равных прямоугольных треугольника BDE и AMD. Таким образом, угол BDE также равен прямому углу.

Теперь мы видим, что у нас есть два прямых угла (BDE и MBC), образованных пересекающимися перпендикулярами, и они оба имеют общую сторону (BC). Это означает, что треугольник BDE подобен треугольнику MBC по общему углу (вертикальные углы) и общей гипотенузе (BC). Следовательно, соотношение длин сторон треугольников равно:

BD / BM = BM / BC

Так как BM = AM (по определению), и AM = MC (по свойству медианы), то:

BD / AM = AM / BC BD = (AM^2) / BC

Из условия AD = 10 и DC = 8 мы можем выразить AM и BC:

AM = MC = (AD + DC) / 2 = (10 + 8) / 2 = 9 BC = AB - AC = AM * 2 - DC = 9 * 2 - 8 = 10

Теперь мы можем вычислить длину BD:

BD = (AM^2) / BC = (9^2) / 10 = 81 / 10 = 8.1

Итак, длина отрезка BD равна 8.1.