Question

На стороне AC прямоугольного треугольника ABC (угол C — прямой) отмечена точка D. На отрезке BD отмечена точка E так, что BE=AD. Оказалось, что серединные перпендикуляры к отрезкам AB и DE пересекаются на отрезке BC. Найдите длину отрезка BD, если известно, что AD=10, DC=7. ​

Answer 1

Ответ:

25

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Обозначим середину отрезка AB как M, а серединные перпендикуляры к AB и DE как p и q соответственно. Также пусть точка пересечения перпендикуляров лежит на BC и обозначается как X.

Из условия задачи следует, что треугольник ABC прямоугольный, поэтому у нас есть несколько равенств:

1. AM = MB (половина гипотенузы равна половине гипотенузы).
2. AD = 10 (дано в условии).
3. DC = 7 (дано в условии).
4. BE = AD (дано в условии).

Из пунктов 1 и 2 следует, что треугольник ACD равнобедренный, так как AM является медианой, и она делит основание CD пополам. Это означает, что угол ACD равен углу CAD.

Поскольку BE = AD и угол ABE общий для треугольников ABE и ADE, а также угол BAE общий для треугольников BAE и BAD, у нас есть:

∠ABE = ∠ADE ∠BAE = ∠BDA

Теперь обратим внимание на перпендикуляры p и q. Так как они пересекаются на BC, у нас есть следующее:

∠XMp = ∠XNq

где XN и XM - перпендикуляры к AB и DE, и N и M - середины соответствующих сторон.

Из равенства углов следует, что треугольники XBN и XAM подобны, так как у них углы равны, и они обладают общим углом BXM.

Из подобия треугольников XBN и XAM мы можем записать отношение длин:

BN / AM = NX / MX

Подставляя AM = MB (из первого пункта), а также замечая, что MX = MD (так как MD - это половина DE), получаем:

BN / MB = NX / MD

Теперь, заметим, что BN = BD + ND, где ND = DC (половина CD):

BD + DC / MB = NX / MD

Подставляем известные значения DC = 7 и AM = MB:

BD + 7 / MB = NX / MD

Так как AM = MB, можем заменить MB на AM:

BD + 7 / AM = NX / MD

Теперь вспомним, что треугольник ACD равнобедренный, поэтому AD = DC = 7:

BD + 7 / 10 = NX / MD

Теперь, заметим, что MD = (1/2)DE, а DE = BE + BD, и у нас дано, что BE = AD = 10:

MD = (1/2)(10 + BD) = 5 + 0.5 * BD

Теперь мы можем подставить это обратно в уравнение:

BD + 7 / 10 = NX / (5 + 0.5 * BD)

Теперь можно решить это уравнение относительно BD:

BD + 7 = (10 * NX) / (5 + 0.5 * BD)

BD * (5 + 0.5 * BD) + 7 * (5 + 0.5 * BD) = 10 * NX

Умножим и раскроем скобки:

5BD + 0.5 * BD^2 + 35 + 3.5 * BD = 10 * NX

Упростим:

0.5 * BD^2 + 8.5 * BD + 35 = 10 * NX

0.5 * BD^2 + 8.5 * BD + 35 = 10 * (BD + 7) / 10

0.5 * BD^2 + 8.5 * BD + 35 = BD + 7

0.5 * BD^2 + 7.5 * BD + 28 = 0

BD^2 + 15 * BD + 56 = 0

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение:

BD = (-B ± √(B^2 - 4AC)) / 2A

где A = 1, B = 15 и C = 56:

BD = (-15 ± √(15^2 - 4 * 1 * 56)) / (2 * 1) BD = (-15 ± √(225 - 224)) / 2 BD = (-15 ± √1) / 2

BD = (-15 + 1) / 2 = -7 (отрицательное значение не имеет смысла в данном контексте) BD = (-15 - 1) / 2 = -8

Таким образом, длина отрезка BD равна 8.