Question

Расстояние между городами А и Б составляет целое число километров. На дороге между городами каждый километр стоит табличка: на одной стороне написано расстояние до города А, на другой — до города Б. Слава шёл пешком из города А в город Б. В течение своего путешествия Слава посчитал для каждой таблички НОД чисел, написанных на ней. Оказалось, что среди посчитанных НОДов встречаются только числа 1, 3 и 19. Чему равняется расстояние между городами?

Answer 1

Ответ:

16 км

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать свойства наибольшего общего делителя (НОД).

Обозначим расстояние между городами А и Б как D.

По условию, Слава посчитал НОД для каждой таблички на своем пути и получил только числа 1, 3 и 19. Заметим, что 1, 3 и 19 являются взаимно простыми числами (т.е. у них нет общих делителей, кроме 1).

Рассмотрим случай, когда расстояние между городами составляет D километров.

Если мы рассмотрим две соседние таблички на пути Славы, то НОД расстояний, записанных на них, будет равен расстоянию между этими табличками. Таким образом, если мы возьмем любые две таблички на пути Славы, их НОД будет являться делителем расстояния D.

Из условия задачи мы знаем, что все НОДы, посчитанные Славой, равны 1, 3 или 19. Это означает, что расстояние D должно иметь только делители 1, 3 и 19.

Предположим, что D не является простым числом и имеет хотя бы один другой делитель, отличный от 1, 3 и 19. Тогда это число не может быть выражено как произведение простых чисел 1, 3 и 19, что противоречит условию задачи.

Следовательно, расстояние между городами должно быть произведением простых чисел 1, 3 и 19.

Расстояние между городами равно 1 × 3 × 19 = 57 километров.