Question

В урні знаходяться 3 білі та 9 чорних куль. Гравці А і В по черзі виймають по одній кулі, повертаючи їх до урни. Виграє той, хто раніше витягне білу кулю.Обчисліть ймовірність виграшу гравця В, якщо гру починає гравець А.

Answer 1

Can you do this for English?

Answer 2

Ми можемо розв'язати це завдання за допомогою рекурсивного підходу або використовуючи ймовірності.

Позначимо ймовірність того, що гравець В виграє, як P(В). Інтуїтивно, ця ймовірність складається з двох можливих випадків:

1. Гравець А витягає чорну кулю і гра переходить до гравця В з новим станом урни 3 білі і 8 чорних куль.
2. Гравець А витягає білу кулю і гравець В виграє.

Отже, можемо записати:

P(В) = P(А витягає чорну) * P(В виграє після стану 3 білі, 8 чорних) + P(А витягає білу)

Для розрахунку цього, розглянемо два підвипадки:

1. Гравець А витягає чорну: Тут ймовірність витягнути чорну кулю на початку дорівнює кількість чорних куль (9) поділено на загальну кількість куль (12):

P(А витягає чорну) = 9 / 12

Після цього стан урни стає 3 білі та 8 чорних куль.

2. Гравець А витягає білу: Тут гравець В вже виграв, отже ймовірність цього випадку дорівнює 1.

P(А витягає білу) = 1

Тепер розглянемо стан після витягання чорної кулі гравцем А. В цьому стані залишилося 3 білі та 8 чорних куль. Гравець В продовжує гру з новим станом урни.

Таким чином, ми можемо використовувати рекурсивний підхід для обчислення ймовірності виграшу гравця В після витягання чорної кулі гравцем А.

P(В виграє після стану 3 білі, 8 чорних) = P(А витягає чорну) * P(В виграє після нового стану)

Ми розглянемо дві підвипадки для "нового стану":

1. Гравець В витягує білу кулю, з ймовірністю (3 / 11), оскільки залишилося 3 білі та 8 чорних куль.
2. Гравець В витягує чорну кулю, з ймовірністю (8 / 11), оскільки залишилося 3 білі та 8 чорних куль.

Тепер ми можемо обчислити P(В виграє після нового стану):

P(В виграє після нового стану) = (3 / 11) * 1 + (8 / 11) * P(В)

Тепер ми можемо обчислити P(В):

P(В) = (9 / 12) * [(3 / 11) * 1 + (8 / 11) * P(В)] + 1

Розв'язавши це рівняння відносно P(В), отримаємо значення ймовірності того, що гравець В виграє гру.