Question

Помогите пожалуйста. Стороны треугольника АВС заданы уравнениями: x+y=2 (AB), 2x-y=-2 (AC), x-2y=2 (BC). Написать уравнение высоты, проведенной из вершины А к стороне ВС.

Answer 1

Ответ:

1. Найдем точки АВС.

x+y=2 и 2x-y=-2

y = 2 - x

y = 2x + 2         -  уравнения прямых:

2. Найдем точку пересечения:

2 - x = 2x + 2

2x = 4

x = 2

y = 0

точка А (2;0)  - координаты

Стороны x+y=2 - AB

2x-y=-2 - АС , следовательно

уравнение стороны ВС

x-2y=2

x - 2y - 2 = 0  - уравнение стороны ВС

Вектор с координатами (1, -2) перпендикулярен стороне ВС.

Используя этот вектор как направляющий, построим уравнение прямой, проходящей через точку А.

Прямая будет перпендикулярна ВС, будет и высотой.

Направляющий вектора (1, -2) ( BC)  точка А (2,0)

(x - 2)/1 = y/-2

или

y = 4 - 2x - искомое уравнение высоты.

Answer 2

Чтобы найти уравнение высоты, проведенной из вершины А к стороне ВС, мы должны определить уравнение прямой, на которой лежит сторона ВС, а затем найти перпендикулярную прямую, проходящую через вершину А.

Для начала найдем уравнение прямой, содержащей сторону ВС. У нас есть два уравнения, описывающих сторону ВС: x - 2y = 2 и 2x - y = -2. Давайте решим их в системе уравнений, чтобы найти точку пересечения:

x - 2y = 2 ...(1) 2x - y = -2 ...(2)

Умножим уравнение (1) на 2 и сложим его с уравнением (2):

2(x - 2y) + (2x - y) = 2(2) + (-2) 2x - 4y + 2x - y = 4 - 2 4x - 5y = 2

Теперь мы имеем уравнение, описывающее прямую ВС: 4x - 5y = 2.

Чтобы найти уравнение высоты, проведенной из вершины А к стороне ВС, нам нужно найти перпендикулярную прямую, проходящую через вершину А. Перпендикулярная прямая будет иметь обратный коэффициент наклона и будет проходить через вершину А.

Уравнение стороны ВС имеет коэффициенты наклона -4/5, поэтому перпендикулярная прямая будет иметь коэффициент наклона 5/4. Чтобы найти уравнение перпендикулярной прямой, используем точку (x, y) = (x1, y1) - координаты вершины А:

y - y1 = m(x - x1) y - y1 = (5/4)(x - x1)

Вставляем координаты вершины А (x1, y1) = (0, 2):

y - 2 = (5/4)(x - 0) y - 2 = (5/4)x

Избавимся от дроби, умножив обе части уравнения на 4:

4y - 8 = 5x

Таким образом, уравнение высоты, проведенной из вершины А к стороне ВС, равно 4y - 5x - 8 = 0.