Question

Натуральное число n назовём хорошим, если 2007 при делении на n даёт остаток 15. Сколько существует хороших чисел? ПЖ

Answer 1

Ответ: 19      это точно

Answer 2

Чтобы найти количество хороших чисел, удовлетворяющих условию, нужно рассмотреть все возможные делители числа 2007, при которых остаток от деления равен 15.

Число 2007 можно представить в виде произведения простых множителей: 2007 = 3 * 3 * 223.

Таким образом, все делители числа 2007 будут иметь вид: 3^a * 223^b, где a и b - неотрицательные целые числа, причем a не может быть больше 2, так как 3 возводится в степень не более чем 2, чтобы не превышать 2007.

Мы хотим, чтобы 2007 при делении на n давало остаток 15. Это можно выразить следующим образом:

2007 ≡ 15 (mod n)

То есть, разность 2007 и 15 должна делиться на n:

1992 ≡ 0 (mod n)

Теперь разложим 1992 на простые множители: 1992 = 2^3 * 3 * 83.

Следовательно, возможные значения n могут быть делителями числа 1992 вида: 2^p * 3^q * 83^r, где p = 0, 1, 2, 3; q = 0, 1; r = 0, 1.

Теперь подсчитаем все возможные комбинации:

Для p: 4 возможных значения (0, 1, 2, 3). Для q: 2 возможных значения (0, 1). Для r: 2 возможных значения (0, 1).

Общее количество хороших чисел будет равно произведению количества возможных комбинаций для каждого параметра:

Всего хороших чисел = 4 * 2 * 2 = 16.

Итак, существует 16 хороших чисел, которые удовлетворяют условию.