Question

Вычислить площадь четырёх угольного пика с вершинами А(3;1),В(4:6),С(6;3) и D (5:-2)

Answer 1

Ответ:

S(ABCD) = 13

Пошаговое объяснение:

Определим вид четырехугольника.

Найдем длины его сторон:

AB = $\sqrt{(4-3)^2+(6-1)^2}$ = $\sqrt{26}$

BC = $\sqrt{(6-4)^2+(3-6)^2}$ = $\sqrt{13}$

CD = $\sqrt{(5-6)^2+(-2-3)^2}$ = $\sqrt{26}$

DA =  $\sqrt{(5-3)^2+(-2-1)^2}$ = $\sqrt{13}$

(используется формула расстояния между двумя точками)

У четырехугольника две пары равных сторон, значит, это  параллелограмм(по признаку параллелограмма)

Для наглядности изобразим параллелограмм ABCD на координатной плоскости.

Площадь параллелограмма можно посчитать через сторону и высоту, проведенную к этой стороне:

S(ABCD) = h*a

Примем AB = a, тогда осталось найти высоту, проведенную к стороне AB. Эта высота равна расстоянию от точки C до прямой AB. Значит, можно посчитать высоту, используя формулу расстояния от точки до прямой.

Задаем уравнение прямой AB по двум точкам:

$\frac{x-x(A)}{x(B)-x(A)}$ = $\frac{y-y(A)}{y(B)-y(A)}$

$\frac{x-3}{4-3}$ = $\frac{y-1}{6-1}$

5x - 15 = y - 1

y = 5x - 14 - получили уравнение прямой AB

Запишем уравнение в виде Ax + By + C = 0

5x - y - 14 = 0 (то есть A = 5, B = -1, C = -14)

С(x₀; y₀) = C(6;3) ,   x₀ = 6,  y₀ = 3

h = $\frac{|5*6 - 3 - 14|}{\sqrt{5^2+(-1)^2} }$ = 13/$\sqrt{26}$

S(ABCD) = $\sqrt{26}$ * (13/$\sqrt{26}$) = 13

Answer 2

Чтобы вычислить площадь четырёхугольника, заданного координатами его вершин, можно воспользоваться формулой площади через координаты. Для этого обычно используется метод Гаусса, который включает в себя нахождение суммы произведений координат вершин по часовой стрелке и затем разности сумм двух диагональных произведений.

Даны вершины: A(3, 1), B(4, 6), C(6, 3), D(5, -2).

Площадь четырёхугольника ABCD вычисляется следующим образом:

Площадь = 0.5 * |x₁y₂ + x₂y₃ + x₃y₄ + x₄y₁ - y₁x₂ - y₂x₃ - y₃x₄ - y₄x₁|

Подставим координаты вершин:

x₁ = 3, y₁ = 1 x₂ = 4, y₂ = 6 x₃ = 6, y₃ = 3 x₄ = 5, y₄ = -2

Подставив значения в формулу:

Площадь = 0.5 * |(3 * 6) + (4 * 3) + (6 * -2) + (5 * 1) - (1 * 4) - (6 * 6) - (3 * 5) - (-2 * 3)|

Вычислим это:

Площадь = 0.5 * |18 + 12 - 12 + 5 - 4 - 36 - 15 + 6| Площадь = 0.5 * |-16|

Площадь = 8

Итак, площадь четырёхугольника ABCD равна 8 квадратным единицам.