Question

Пожалуйста! Помогите!! Найти производную функции u в точке М по направлению, идущему от этой точки к точке P. u=xz/y^5+xz^3y^2+y/z^2 M(2;1;-1) P (4;2;5)

Answer 1

Ответ:

2;2 я не понял что это такое

Answer 2

Конечно, я помогу вам найти производную функции u в точке M по направлению, идущему от точки M к точке P.

Для начала, давайте найдем направляющий вектор $\vec{v}$, который будет направлен от точки M (2; 1; -1) к точке P (4; 2; 5):

$\vec{v} = \vec{P} - \vec{M} = (4 - 2, 2 - 1, 5 - (-1)) = (2, 1, 6)$.

Теперь, чтобы найти производную функции u по направлению вектора $\vec{v}$, мы можем использовать производную векторного произведения. Формула для производной по направлению:

$\frac{{du}}{{dt}} = \nabla u \cdot \vec{v}$,

где $\nabla u$ - градиент функции $u$ (вектор её частных производных).

Давайте сначала найдем градиент функции $u$:

$u = \frac{xz}{{y^5}} + xz^3y^2 + \frac{y}{{z^2}}$.

Вычислим частные производные по $x$, $y$ и $z$:

$\frac{{\partial u}}{{\partial x}} = \frac{z}{{y^5}} + z^3y^2$, $\frac{{\partial u}}{{\partial y}} = -\frac{5xz}{{y^6}} + 2xz^3y$, $\frac{{\partial u}}{{\partial z}} = \frac{x}{{y^5}} - \frac{2y}{{z^3}}$.

Теперь можем найти градиент $\nabla u$ в точке M (2; 1; -1):

$\nabla u = \left(\frac{z}{{y^5}} + z^3y^2, -\frac{10xz}{{y^6}} + 2xz^3y, \frac{x}{{y^5}} + \frac{2y}{{z^3}}\right) = \left(\frac{1}{{1^5}} + (-1)^3 \cdot 1^2, -\frac{10 \cdot 2 \cdot 1 \cdot (-1)}{{1^6}} + 2 \cdot 2 \cdot (-1)^3, \frac{2}{{1^5}} + \frac{2 \cdot 1}{{(-1)^3}}\right) = (0, -6, 0)$.

Теперь осталось подставить градиент и направляющий вектор в формулу производной по направлению:

$\frac{{du}}{{dt}} = \nabla u \cdot \vec{v} = (0, -6, 0) \cdot (2, 1, 6) = 0 \cdot 2 + (-6) \cdot 1 + 0 \cdot 6 = -6$.

Таким образом,