Question

Помогите решить дифференциальное уравнение у''+у=1 ,удовлетворяющее краевым условиям у'(0)=0, у(1)=1

Answer 1

Ответ:

решение на фотографиях

Answer 2

Для решения данного дифференциального уравнения с краевыми условиями можно воспользоваться методом интегрирования и методом нахождения частного решения. Давайте рассмотрим каждый шаг.

Исходное уравнение: у'' + у = 1

Первый шаг - нахождение общего решения однородного уравнения (без правой части): у'' + у = 0

Характеристическое уравнение: r^2 + 1 = 0 Решение характеристического уравнения: r1 = i, r2 = -i

Общее решение однородного уравнения: уh(x) = c1 * cos(x) + c2 * sin(x), где c1 и c2 - произвольные константы.

Теперь перейдем к нахождению частного решения для неоднородного уравнения (с правой частью равной 1). Поскольку правая часть постоянная, предположим, что частное решение будет тоже постоянным: уп(x) = a.

Подставим это в исходное уравнение: 0 + a = 1 a = 1

Таким образом, частное решение: уп(x) = 1.

Итак, общее решение исходного неоднородного уравнения: у(x) = уh(x) + уп(x) у(x) = c1 * cos(x) + c2 * sin(x) + 1

Теперь применим краевые условия:

1. Условие: у'(0) = 0 Производная у(x): у'(x) = -c1 * sin(x) + c2 * cos(x) Подставляем x = 0: -c1 * sin(0) + c2 * cos(0) = 0 Из этого следует: c2 = 0

2. Условие: у(1) = 1 Подставляем x = 1: c1 * cos(1) = 1 Из этого следует: c1 = 1 / cos(1)

Итак, итоговое решение: у(x) = (1 / cos(1)) * cos(x) + 1

Это есть решение дифференциального уравнения с заданными краевыми условиями.