Question

Решить дифференциальное уравнение (y^2+1)dx-2y(x-1)dy=0 И найти его частное решение, удовлетворяющее условиям: При x=2 y=3

Answer 1

$(y^2+1)dx-2y(x-1)dy=0\; ,\; \; y(2)=3\\\\(y^2+1)dx=2y(x-1)dy\\\\ \int \frac{dx}{x-1}=\int \frac{2y\, dy}{y^2+1} \\\\ln|x-1|+lnC=ln|y^2+1|\\\\(x-1)\cdot C=y^2+1\\\\y^2=(x-1)\cdot C-1\\\\3^2=(2-1)\cdot C-1\; \; \to \; \; \; 9=C-1\; ,\; \; C=10\\\\y^2=10(x-1)-1\; ,\; \; \; y^2=10x-11$

Answer 2

Дано дифференциальное уравнение (y^2+1)dx - 2y(x-1)dy = 0.

Для решения данного уравнения воспользуемся методом разделения переменных. Для этого перенесем все члены с dx в одну часть уравнения, а все члены с dy - в другую часть:

(y^2+1)dx = 2y(x-1)dy.

Теперь разделим обе части уравнения на (y^2+1) и на x-1:

dx = (2y(x-1))/(y^2+1)dy.

Заметим, что в левой части уравнения стоит дифференциал от x, а в правой - от y. Так как у нас есть условие, при котором нужно найти частное решение (x=2, y=3), заменим переменные x и y на их значения:

dx(2) = (2(3)(2-1))/(3^2+1)dy.

Упростим выражение:

2 dx = 6(dy/10).

Разделим обе части на 2 и на (dy/10):

dx = 3(dy/10).

Теперь проведем интегрирование от обеих частей уравнения:

∫ dx = ∫ (3/10)dy.

x = (3/10)y + C,

где C - произвольная постоянная.

Теперь подставим условие x=2, y=3 для нахождения конкретного значения постоянной C:

2 = (3/10)(3) + C.

Упростим выражение:

2 = 9/10 + C.

Приведем дробь в правой части уравнения к общему знаменателю:

2 = 9/10 + (10/10)C.

Учтем, что 9/10 = 0.9:

2 = 0.9 + (10/10)C.

Упростим выражение:

2 - 0.9 = 1.1C.

Выполним вычитание:

1.1 = 1.1C.

Разделим обе части на 1.1:

C = 1.

Таким образом, получаем конкретное значение постоянной C.

Итак, частное решение данного дифференциального уравнения, удовлетворяющее условиям x=2 и y=3, имеет вид:

x = (3/10)y + 1.