Question

Лёня вырезает из клетчатой бумаги квадраты 2×2, закрашивает (с одной стороны) несколько (одну или больше) клеток в чёрный цвет, остальные клетки остаются белыми. Лёня считает раскраски одинаковыми, если может их повернуть так, что они совпадут. Сколько существует различных раскрасок?

Answer 1

Ответ:

5

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Для решения этой задачи, давайте рассмотрим различные случаи:

1. Все 4 клетки квадрата черные: В этом случае у нас есть только одна раскраска, так как она не может быть повернута.

2. 3 клетки черные и 1 клетка белая: В этом случае есть 4 способа закрасить одну из четырех клеток белым. Например, мы можем выбрать одну из четырех клеток, которую оставим белой.

3. 2 клетки черные и 2 клетки белые: В этом случае нам нужно рассмотреть, какие из клеток мы закрашиваем черным цветом. Есть несколько вариантов:

   • Все возможные способы выбрать 2 из 4 клеток для закрашивания: это сочетание из 4 по 2. Считаем его: C(4, 2) = 6.
   • Каждый из этих вариантов можно повернуть на 90, 180 и 270 градусов, и раскраски будут совпадать. Таким образом, у нас есть 6 различных раскрасок.

4. 1 клетка черная и 3 клетки белые: Здесь у нас также есть несколько вариантов, но как и в предыдущем случае, каждый из них можно повернуть на 90, 180 и 270 градусов:

   • Все возможные способы выбрать 1 из 4 клеток для закрашивания: это сочетание из 4 по 1. Считаем его: C(4, 1) = 4.
   • Каждый из этих вариантов можно повернуть на 90, 180 и 270 градусов, и раскраски будут совпадать. Таким образом, у нас есть 4 различных раскраски.

Итак, суммируя все эти случаи, мы имеем:

1 + 4 + 6 + 4 = 15 различных раскрасок для квадрата 2x2 с учетом симметрии и возможности поворота.