Question

СРОЧНО!!! Магазин получает электрические чайники из трех заводов. Первый завод допускает брак 0.2, второй - 0.3 и третий - 0.4. Для контроля взяли один чайник. 1) вероятность того, что он качественный. (Ответ округлить до сотых.) 2) Если чайник качественный, то какая вероятность того, что он изготовлен на втором заводе? Известно, что заводы поставляют чайники в соотношении 2: 5: 7 соответственно. (Ответ округлить до сотых.)

Answer 1

Пусть случайное событие $A$ — выбран качественный чайник, а гипотезы $H_{1}, ~ H_{2}$ и $H_{3}$ — качественный чайник соответственно с первого, второго и третьего заводов. Тогда вероятность наступления события $A$, если наступит конкретная гипотеза:

$P(A | H_{1}) = 1 - 0,2 = 0,8$

$P(A | H_{2}) = 1 - 0,3 = 0,7$

$P(A | H_{3}) = 1 - 0,4 = 0,6$

Пусть $k$ — коэффициент пропорциональности. Тогда $2k, ~ 5k$ и $7k$ — поступление чайников из соответственно первого, второго и третьего заводов. Найдем по классической вероятности наступление гипотез:

$P(H_{1}) = \dfrac{2k}{2k + 5k + 7k} = \dfrac{2k}{14k} = \dfrac{1}{7}$

$P(H_{2}) = \dfrac{5k}{2k + 5k + 7k} = \dfrac{5k}{14k} = \dfrac{5}{14}$

$P(H_{3}) = \dfrac{7k}{2k + 5k + 7k} = \dfrac{7k}{14k} = \dfrac{1}{2}$

Воспользуемся формулой полной вероятности наступления события $A\colon$

$P(A) = P(H_{1}) P(A|H_{1}) + P(H_{2}) P(A|H_{2}) + P(H_{3}) P(A|H_{3}) =\\\\= \dfrac{1}{7} \cdot 0,8 + \dfrac{5}{14} \cdot 0,7 + \dfrac{1}{2} \cdot 0,6 = \dfrac{93}{140} \approx 0,66.$

Тогда по формуле Байеса найдем вероятность того, что если чайник качественный, то он изготовлен на втором заводе:

$P(H_{2}|A) = \dfrac{P(A|H_{2}) P(H_{2})}{P(A)} = \dfrac{0,7 \cdot \dfrac{5}{14} }{\dfrac{93}{140} } = \dfrac{35}{93} \approx 0,38.$

Ответ: 1) 0,66; 2) 0,38.

Answer 2

Ответ:

1) 0.66

2) 0.38

Пошаговое объяснение:

заводы поставляют чайники в соотношении 2: 5: 7 соответственно, значит всего 2+5+7=14 частей

Первый завод 2/14=1/7 часть всех чайников

Второй: 5/14

Третий: 7/14=1/2

Вероятность того, что чайник с первого завода качественный равна: 1-0,2=0,8

Вероятность того, что чайник со второго завода качественный равна: 1-0,3=0,7

Вероятность того, что чайник с третьего завода качественный равна: 1-0,4=0,6

1) А-чайник качественный.

Гипотезы:

H₁, H₂, H₃ - чайник изготовил 1, 2, 3 заводы соответственно.

P(H₁)=1/7; P(H₂)=5/14; P(H₃)=1/2

Условные вероятности:

A/H₁, A/H₂, A/H₃ - чайник качественный, при условии что его изготовил 1, 2, 3 заводы соответственно.

P(A/H₁)=0.8; P(A/H₂)=0.7; P(A/H₃)=0.6

Формула полной вероятности:

P(A)=P(H₁)*P(A/H₁)+P(H₂)*P(A/H₂)+P(H₃)*P(A/H₃)

$P(A)=\frac{1}{7}*0.8+\frac{5}{14}*0.7+\frac{1}{2}*0.6 \approx 0.66$

2) Н₂/A - на втором заводе изготовили качественный чайник:

По формуле Байеса:

$P(H_2/A)=\frac{P(H_2)*P(A/H_2)}{P(A)} \\ \\ P(H_2/A)=\frac{\frac{5}{14}*0.7 }{0.66} \approx=0.38$

Answer 3

Давайте рассмотрим каждый вопрос по очереди:

1. Вероятность того, что случайно выбранный чайник окажется качественным, можно рассчитать как сумму произведений вероятностей брака на каждом заводе и вероятностей того, что чайник изготовлен на этом заводе. Даны вероятности брака для каждого завода:

• Первый завод: 0.2 (брак) и 0.8 (качество)
• Второй завод: 0.3 (брак) и 0.7 (качество)
• Третий завод: 0.4 (брак) и 0.6 (качество)

Также дано соотношение поставок: 2:5:7. Общее количество заводов: 2 + 5 + 7 = 14.

Теперь рассчитаем вероятность качественного чайника:

Вероятность = (Вероятность первого завода * Соотношение первого завода + Вероятность второго завода * Соотношение второго завода + Вероятность третьего завода * Соотношение третьего завода) / Общее количество заводов

Вероятность = (0.8 * 2 + 0.7 * 5 + 0.6 * 7) / 14 Вероятность = (1.6 + 3.5 + 4.2) / 14 Вероятность = 9.3 / 14 Вероятность ≈ 0.6643

Ответ на первый вопрос: Вероятность того, что чайник качественный, составляет примерно 0.66 (округлено до сотых).

2. Вероятность того, что чайник изготовлен на втором заводе при условии, что он качественный, можно рассчитать с использованием формулы условной вероятности:

Вероятность = (Вероятность второго завода * Вероятность качественного чайника из второго завода) / Вероятность качественного чайника

Вероятность = (0.7 * 5) / 0.6643 Вероятность ≈ 5.2676 / 0.6643 Вероятность ≈ 7.9237

Ответ на второй вопрос: Если чайник качественный, то вероятность того, что он изготовлен на втором заводе, составляет примерно 7.92 (округлено до сотых).