Question

СРОЧНО Решите интеграл: ((x+y-2)/(1-x)^(3/2))dx y - как константа Можно как можно подробнее, пожалуйста, мат. анализа не изучали

Answer 1

$\displaystyle \int \frac{x + y - 2}{(1 - x)^{\tfrac{3}{2} }} \, dx = \left|\begin{array}{ccc}1 - x = t\\x = 1-t\\dx = -dt\end{array}\right| = -\int \frac{y - t - 1}{t^{\tfrac{3}{2} }} \, dt =$

$\displaystyle = -\int \left( \frac{y}{t^{\tfrac{3}{2} } } - \frac{t}{t^{\tfrac{3}{2} }} - \frac{1}{t^{\tfrac{3}{2} }} \right) \, dt = -y\int t^{-\tfrac{3}{2} } \, dt + \int t^{-\tfrac{1}{2} } \, dt + \int t^{-\tfrac{3}{2} }\, dt =$

$= -y \cdot \dfrac{t^{-\tfrac{3}{2} + 1}}{-\dfrac{3}{2} + 1} + \dfrac{t^{-\tfrac{1}{2} + 1}}{-\dfrac{1}{2} + 1} + \dfrac{t^{-\tfrac{3}{2} + 1}}{-\dfrac{3}{2} + 1} + C = \dfrac{2y}{t^{\tfrac{1}{2} }} +2t^{\tfrac{1}{2} } - \dfrac{2}{t^{\tfrac{1}{2} }} + C =$

$= \dfrac{2y}{(1 - x)^{\tfrac{1}{2} }} +2(1 - x)^{\tfrac{1}{2} } - \dfrac{2}{(1 - x)^{\tfrac{1}{2} }} + C = \dfrac{2y}{\sqrt{1 - x}} +2\sqrt{1 - x} - \dfrac{2}{\sqrt{1 - x}} + C =$

$= 2\sqrt{1 - x} + \dfrac{2y - 2}{\sqrt{1 - x}} + C$

Использованные свойства неопределенных интегралов:

$1. ~ \displaystyle \int f(x) \, dx = F(x) + C,$ где функция $f(x)$ называется подынтегральной функцией; выражение $f(x) \, dx$ — подынтегральным выражением; $F(x)$ — одна из первообразных для функции $f(x);$ $C$ — произвольная постоянная.

$2. ~ \displaystyle \int (f(x) \pm g(x))\, dx = \int f(x) \, dx \pm \int g(x) \, dx$

$3. ~ \displaystyle \int c f(x) \, dx = c \int f(x) \, dx,$ где $c$ — константа

Использованные формулы:

$1. ~ \displaystyle \int x^{a} \, dx = \frac{x^{a + 1}}{a+1} + C, ~ a \neq -1$

$2. ~ \dfrac{1}{x^{n}} = x^{-n}$

$3. ~ \dfrac{x^{m}}{x^{n}} = x^{m - n}$

$4. ~ x^{\tfrac{m}{n} } = \sqrt[n]{x^{m}}$

Ответ: $2\sqrt{1 - x} + \dfrac{2y - 2}{\sqrt{1 - x}} + C$

Answer 2

Хорошо, давайте решим данный интеграл. Для начала, давайте выполним замену переменных, чтобы упростить интеграл.

Пусть $u = 1 - x$, тогда $du = -dx$. Заменив $dx$ и выразив $x$ через $u$, получим:

$x = 1 - u$

Теперь заменим переменные в исходном интеграле:

$\int \frac{{x + y - 2}}{{(1 - x)^{\frac{3}{2}}}} \, dx = -\int \frac{{(1 - u) + y - 2}}{{u^{\frac{3}{2}}}} \, du$

Теперь у нас есть новый интеграл, который можно рассмотреть отдельно от остальных переменных.

Распишем числитель интеграла:

$(1 - u) + y - 2 = -u + y - 1$

Теперь подставим это обратно в интеграл:

$-\int \frac{{-u + y - 1}}{{u^{\frac{3}{2}}}} \, du$

Раскроем знак минус перед интегралом:

$\int \frac{{u - y + 1}}{{u^{\frac{3}{2}}}} \, du$

Разложим интеграл на два слагаемых:

$\int \frac{{u}}{{u^{\frac{3}{2}}}} \, du - \int \frac{{y - 1}}{{u^{\frac{3}{2}}}} \, du$

Разделим каждый интеграл на две части:

$\int u \cdot u^{-\frac{3}{2}} \, du - \int (y - 1) \cdot u^{-\frac{3}{2}} \, du$

Упростим выражения:

$\int u^{-\frac{1}{2}} \, du - \int (y - 1) \cdot u^{-\frac{3}{2}} \, du$

Проинтегрируем каждое слагаемое по отдельности:

$\int u^{-\frac{1}{2}} \, du = 2u^{\frac{1}{2}} + C_1$

$\int (y - 1) \cdot u^{-\frac{3}{2}} \, du = (y - 1) \cdot (-2u^{-\frac{1}{2}}) + C_2$

Где $C_1$ и $C_2$ - произвольные постоянные интегрирования.

Теперь подставим результаты обратно в исходный интеграл:

$\int \frac{{u - y + 1}}{{u^{\frac{3}{2}}}} \, du = 2u^{\frac{1}{2}} - (y - 1) \cdot 2u^{-\frac{1}{2}} + C$

Где ( C = C_1 - C_2