Question

Решите уравнение в полных дифференциалах: у' = (x+y-2)/(2x-2)

Answer 1

Ответ:

решение на фотографии

Answer 2

Для решения данного уравнения в полных дифференциалах, нужно найти такую функцию $u(x, y)$, что её полные дифференциалы $du$ по $x$ и $dy$ будут соответствовать левой и правой частями данного уравнения.

Итак, данное уравнение:

$\frac{du}{dx} = \frac{x+y-2}{2x-2}$

Попробуем найти функцию $u$, дифференциал которой $du$ будет иметь такой вид:

$du = A \, dx + B \, dy$

где $A$ и $B$ - некоторые функции от $x$ и $y$. Сравнивая коэффициенты при $dx$ и $dy$ в уравнении для $du$ с коэффициентами в уравнении $\frac{du}{dx} = \frac{x+y-2}{2x-2}$, получим систему уравнений для $A$ и $B$:

$A = \frac{x+y-2}{2x-2}$ $B = ?$

Мы видим, что $A$ уже совпадает с правой частью уравнения, но нужно определить $B$. Для этого выразим $B$ из уравнения для $du$:

$B = \frac{du}{dy} - A \frac{dx}{dy}$

Теперь попробуем найти $B$. Для этого выразим $\frac{du}{dy}$:

$\frac{du}{dy} = B + A \frac{dx}{dy}$

Теперь подставим это значение $\frac{du}{dy}$ в уравнение для $B$:

$B = \frac{du}{dy} - A \frac{dx}{dy} = B + A \frac{dx}{dy} - A \frac{dx}{dy}$

Мы видим, что $B$ сокращается, и получается:

$B = 0$

Таким образом, функция $u$ такая, что её полный дифференциал $du$ равен:

$du = \frac{x+y-2}{2x-2} \, dx$

Интегрируя обе стороны по переменной $x$, получаем:

$u = \int \frac{x+y-2}{2x-2} \, dx + C(y)$

где $C(y)$ - произвольная функция от $y$.

Таким образом, общее решение уравнения в полных дифференциалах имеет вид:

$u(x, y) = \int \frac{x+y-2}{2x-2} \, dx + C(y)$

Где $C(y)$ - произвольная функция от $y$, и интеграл берется по $x$.