Question

Тема называется Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах. Помогите решить уравнение y '' - 5y ' + 6y = 13sin3x.

Answer 1

Ответ:

решение на фотографии

Answer 2

Для решения данного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами y'' - 5y' + 6y = 13sin(3x), мы можем воспользоваться методом вариации постоянных.

Сначала найдем общее решение соответствующего однородного уравнения:

y'' - 5y' + 6y = 0.

Характеристическое уравнение для этого однородного уравнения:

r^2 - 5r + 6 = 0.

Мы можем разложить это уравнение на множители:

(r - 2)(r - 3) = 0.

Отсюда получаем два корня:

r1 = 2, r2 = 3.

Теперь можем записать общее решение однородного уравнения:

y_h(x) = c1 * e^(2x) + c2 * e^(3x).

Где c1 и c2 - произвольные постоянные.

Теперь найдем частное решение неоднородного уравнения. Для этого предположим, что решение имеет вид:

y_p(x) = A * sin(3x) + B * cos(3x),

где A и B - неизвестные константы, которые мы должны найти. Подставим это предположение в неоднородное уравнение и найдем производные:

y_p'(x) = 3A * cos(3x) - 3B * sin(3x), y_p''(x) = -9A * sin(3x) - 9B * cos(3x).

Теперь подставим y_p и его производные в исходное уравнение:

-9A * sin(3x) - 9B * cos(3x) - 5(3A * cos(3x) - 3B * sin(3x)) + 6(A * sin(3x) + B * cos(3x)) = 13sin(3x).

Теперь сгруппируем слагаемые:

(6A - 9B) * sin(3x) + (-9A - 5 * 3B) * cos(3x) = 13sin(3x).

Сравнивая коэффициенты при sin(3x) и cos(3x) слева и справа, получим систему уравнений:

1. 6A - 9B = 0,
2. -9A - 15B = 13.

Решим эту систему уравнений. Сначала из первого уравнения выразим A:

6A = 9B, A = (9/6)B, A = (3/2)B.

Теперь подставим это выражение для A во второе уравнение:

-9(3/2)B - 15B = 13, -27/2B - 15B = 13, -27/2B - 30/2B = 13, -57/2B = 13.

Теперь найдем B:

B = (13 * 2) / (-57), B = -26 / 57.

Теперь найдем A, используя выражение A = (3/2)B:

A = (3/2) * (-26/57) = -39/57 = -13/19.

Итак, мы нашли значения A и B:

A = -13/19, B = -26/57.

Теперь можем записать частное решение неоднородного уравнения:

y_p(x) = (-13/19) * sin(3x) - (26/57) * cos(3x).

Итак, общее решение неоднородного уравнения y'' - 5y' + 6y = 13sin(3x) будет суммой общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения:

y(x) = y_h(x) + y_p(x) = c1 * e^(2x) + c2 * e^(3x) - (13/19) * sin(3x) - (26/57) * cos(3x),

где c1 и c2 - произвольные постоянные.