Question

Исследовать функцию y=x^3-3x^2+3x

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Давайте вместе исследуем функцию $y = x^3 - 3x^2 + 3x$. Для этого мы рассмотрим её график, найдем экстремумы, точки перегиба, а также проанализируем поведение функции при различных значениях аргумента $x$.

1. График функции:

Для начала давайте построим график функции $y = x^3 - 3x^2 + 3x$:

2. Нахождение экстремумов:

Экстремумы функции — это максимальные и минимальные значения. Для этого возьмем производную функции и найдем её корни:

Первая производная: $y' = 3x^2 - 6x + 3$

Чтобы найти корни этой квадратной функции, решим уравнение $3x^2 - 6x + 3 = 0$:

$x^2 - 2x + 1 = 0$

$(x - 1)^2 = 0$

Отсюда получаем двукратный корень $x = 1$. Это значит, что у функции есть одна точка экстремума.

3. Нахождение точек перегиба:

Для точек перегиба нам понадобится вторая производная функции:

Вторая производная: $y'' = 6x - 6$

Мы должны найти значения $x$, при которых $y'' = 0$:

$6x - 6 = 0$

$x = 1$

Таким образом, точка перегиба находится при $x = 1$.

4. Анализ поведения функции:

Теперь мы знаем, что у функции есть экстремум (минимум) при $x = 1$ и точка перегиба также находится при $x = 1$.

• При $x < 1$, производная $y'$ отрицательна, следовательно, функция убывает.
• При $x > 1$, производная $y'$ положительна, функция возрастает.

5. Значения функции:

Для полноты анализа давайте найдем значение функции при $x = 1$:

$y(1) = 1^3 - 3 \cdot 1^2 + 3 \cdot 1 = 1 - 3 + 3 = 1$

Таким образом, точка экстремума имеет координаты $(1, 1)$.

Итак, мы провели анализ функции $y = x^3 - 3x^2 + 3x$, включая график, экстремумы, точки перегиба и поведение функции при различных значениях $x$.