Question

Определите область определения уравнения log2 (3x^2- 2x + 2) = log2 (2x^2 + 2x - 1) и,пожалуйста,решите a) log32 x + log3 x – 2 = 0 b ) lg2x = 1 - lg( x - 4 )

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Решено.

Answer 2

Для начала рассмотрим данное уравнение:

$\log_2(3x^2 - 2x + 2) = \log_2(2x^2 + 2x - 1).$

Обратите внимание, что логарифмы имеют одинаковую базу (основание 2), поэтому можно применить свойство логарифмов: если логарифмы с одинаковой базой равны, то их аргументы тоже равны:

$3x^2 - 2x + 2 = 2x^2 + 2x - 1.$

Теперь можно привести все члены уравнения в одну сторону и решить получившееся квадратное уравнение:

$3x^2 - 2x + 2 - (2x^2 + 2x - 1) = 0,$ $x^2 - 4x + 3 = 0.$

Факторизуем это уравнение:

$(x - 3)(x - 1) = 0.$

Из этого получаем два возможных значения $x$: $x = 3$ или $x = 1$.

Теперь перейдем к решению задач.

a) Рассмотрим уравнение: $\log_3 x + \log_3 x - 2 = 0.$

Сначала объединим логарифмы с одинаковой базой:

$2\log_3 x - 2 = 0.$

Теперь добавим 2 к обеим сторонам уравнения:

$2\log_3 x = 2.$

Поделим обе стороны на 2:

$\log_3 x = 1.$

Это означает, что $x$ должно быть равно $3^1$, то есть $x = 3$.

b) Рассмотрим уравнение: $\log_2 x = 1 - \log(x - 4).$

Сначала перенесем $\log(x - 4)$ на одну сторону:

$\log_2 x + \log(x - 4) = 1.$

Используем свойство логарифма $\log_a b + \log_a c = \log_a (b \cdot c)$:

$\log_2 (x \cdot (x - 4)) = 1.$

$\log_2 (x^2 - 4x) = 1.$

Теперь преобразуем это уравнение эквивалентным образом:

$x^2 - 4x = 2^1.$

$x^2 - 4x - 2 = 0.$

Для решения этого квадратного уравнения можно воспользоваться квадратным корнем:

$x = \frac{4 \pm \sqrt{4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2 \cdot 1}.$

$x = \frac{4 \pm \sqrt{24}}{2}.$

$x = 2 \pm 2\sqrt{6}.$

Таким образом, уравнение имеет два корня: $x = 2 + 2\sqrt{6}$ и $x = 2 - 2\sqrt{6}$.