Question

Знайти проекцію точки Р(-6;4) на пряму 4х-5у+3=0. Срочно

Answer 1

Дана точка Р(-6;4) и прямая 4x-5y+3=0 в общем виде Ax + By + C =0.

У прямой, перпендикулярной к заданной прямой,  коэффициенты А и В меняются на (-В) и А.

Получаем 5x + 4y + C = 0. Так как этот перпендикуляр должен проходить через точку Р(-6; 4), то подставим координаты Р в уравнение.

5*(-6) + 4*4 + С =0, отсюда С = 30 - 16 = 14.

Уравнение 5x + 4y + 14 = 0.

Проекция точки Р на заданную прямую - это точка пересечения прямой и перпендикуляра. Находим координаты точки пересечения, решая систему:

{4x - 5y + 3 = 0,     умножим на (-5) = -20x + 25y - 15 = 0

{5x + 4y + 14 = 0.        умножим на 4 = 20x + 16y + 56 = 0

                                                                          41 y + 41 = 0,

y = -41/41 = -1,     x = (5*y - 3) /4 = (5*(-1)) - 3)/4 = -8/4 = -2.

Ответ: проекция точки Р на  прямую 4х-5у+3=0

имеет координаты (-2; -1).

Answer 2

Для знаходження проекції точки на задану пряму, нам потрібно знайти точку на прямій, яка найближча до заданої точки і має перпендикулярну проекцію на цю пряму. Давайте розглянемо кроки для знаходження проекції точки P(-6, 4) на пряму 4x - 5y + 3 = 0.

1. Запишемо рівняння заданої прямої у вигляді "y = mx + b", де "m" - це нахил прямої, а "b" - зміщення відносно осі Y.

   4x - 5y + 3 = 0 -5y = -4x - 3 y = (4/5)x + 3/5

2. Знайдемо нахил прямої "m". У нашому випадку, m = 4/5.

3. Використовуючи властивість перпендикулярних прямих, відомо, що добуток нахилів перпендикулярних прямих дорівнює -1. Отже, нахил перпендикулярної прямої буде -5/4.

4. Запишемо рівняння прямої, яка проходить через точку P(-6, 4) і має нахил -5/4. Використовуючи формулу "y - y₁ = m(x - x₁)", де (x₁, y₁) - це координати точки P, маємо:

   y - 4 = -5/4(x + 6) y = -5/4x - 15/2 + 4 y = -5/4x - 7/2

5. Розв'яжемо систему рівнянь для знаходження точки перетину заданої прямої та перпендикулярної прямої, яка проходить через точку P.

   Система рівнянь: y = (4/5)x + 3/5 y = -5/4x - 7/2

   Підставимо значення y з першого рівняння у друге: (4/5)x + 3/5 = -5/4x - 7/2

   Знайдемо значення x: (4/5)x + 5/4x = -7/2 - 3/5 (16/20)x + 25/20x = -35/10 - 6/10 (41/20)x = -41/10 x = -2

6. Підставимо знайдене значення x у рівняння першої прямої, щоб знайти відповідне значення y: y = (4/5)(-2) + 3/5 y = -8/5 + 3/5 y = -5/5 y = -1

Таким чином, перекладаючи знайдені координати (x, y) у точку, маємо, що проекція точки P(-6, 4) на пряму 4x - 5y + 3 = 0 - це точка (-2, -1).